Montrons d’abord par récurrence sur $l\geq 2$ que la signature d’un cycle de longueur $l$ est $(-1)^{l-1}$ .

C’est connu pour $l=2$ (signature d’une transposition).

Soit $l\geq 2$ . Supposons que tout cycle de longueur $l$ ait pour signature $(-1)^{l-1}$ . Soit $c$ un cycle de longueur $l+1$ .

On note $\{x_1,x_2,...,x_{l+1}\}$ le support de $c$ et on suppose que, pour $1\leq i\leq l$ , $c(x_i)=x_{i+1}$ et que $c(x_{l+1})=x_1$ .

Montrons alors que $\tau_{x_1,x_{l+1}}\circ c$ est un cycle de longueur $l$ . $\tau_{x_1,x_{l+1}}\circ c$ fixe déjà $x_{l+1}$ puis, si $1\leq i\leq l-1$ , $\tau_{x_1,x_{l+1}}\circ c(x_i)=\tau_{x_1,x_{l+1}}(x_{i+1})=x_{i+1}$ (car $x_{i+1}$ n’est ni $x_1$ , ni $x_{l+1}$ ), et enfin $\tau_{x_1,x_{l+1}}\circ c(x_l)=\tau_{x_1,x_{l+1}}(x_{l+1})=x_1$ . $\tau_{x_1,x_{l+1}}\circ c$ est donc bien un cycle de longueur $l$ . Par hypothèse de récurrence, $\tau_{x_1,x_{l+1}}\circ c$ a pour signature $(-1)^{l-1}$ et donc, $c$ a pour signature $(-1)^{(l+1)-1}$ .

Montrons maintenant que si $\sigma$ est une permutation quelconque de $\{1,...,n\}$ ayant $k$ orbites la signature de $\sigma$ est $(-1)^{n-k}$ .

Si $\sigma$ est l’identité, $\sigma$ a $n$ orbites et le résultat est clair.

Si $\sigma$ n’est pas l’identité, on décompose $\sigma$ en produit de cycles à supports disjoints.

Posons $\sigma=c_1...c_p$ où $p$ désigne le nombre d’orbites de $\sigma$ non réduites à un singleton et donc $k-p$ est le nombre de points fixes de $\sigma$ . Si $l_i$ est la longueur de $c_i$ , on a donc $n=l_1+...+l_p+(k-p)$ ou encore $n-k=l_1+...+l_p-p$ .

Mais alors,

$\varepsilon(\sigma)=\prod_{i=1}^{p}\varepsilon(c_i)=\prod_{i=1}^{p}(-1)^{l_i-1}=(-1)^{l_1+...+l_p-p}=(-1)^{n-k}.$

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