On considère le plan $\R^2$ muni d'un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OJ})$. Soit $T$ l'intérieur du triangle $OIJ$ et soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires suivant une loi uniforme sur le triangle $T$.
- \question{ Déterminer un nombre réel $k$ tel que $f(x,y) = k \cdot \mathbf{1}_T(x,y)$ définisse sur $\R^2$ la densité du couple $(X,Y)$. }
\reponse{
On a $(x,y) \in T$ si et seulement si $x \in [0,1]$, $y \in [0,1]$ et $y \leq 1-x$. Donc d'après le théorème de Fubini :
$$\begin{align*}
\int_{\R^2} f(x,y) dx dy &= \int_0^1 \int_0^{1-x} k \,dy dx
&= \int_0^1 k(1-x) dx
&= k \left[ x - \frac{x^2}{2} \right]_0^1
&= k \times \frac{1}{2} \end{align*}$$ Pour que $f$ soit une densité, il faut que $\int_{\R^2} f(x,y) dx dy = 1$ et $f(x,y) \geq 0$ pour tout $(x,y) \in \R^2$. Donc $k = 2$. } - \question{ Déterminer les lois marginales du couple $(X,Y)$. }
\reponse{
Si $(x,y) \notin T$, alors $f(x,y) = 0$. Donc pour tout $x \notin [0,1]$, $f_X(x) = 0$. De même pour tout $y \notin [0,1]$, $f_Y(y) = 0$.}
Si $x \in [0,1]$, alors $f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy = 2 \int_0^{1-x} dy = 2(1-x)$. De même pour tout $y \in [0,1]$, $f_Y(y) = 2(1-y)$.
1
Déterminer un nombre réel \(k\) tel que \(f(x,y) = k \cdot \mathbf{1}_T(x,y)\) définisse sur \(\R^2\) la densité du couple \((X,Y)\).
2
Déterminer les lois marginales du couple \((X,Y)\).
3
Les variables aléatoires \(X\) et \(Y\) sont-elles indépendantes ?
4
Calculer la covariance du couple \((X,Y)\).