Soit \(n\) un entier naturel non-nul et soit \(a\) un réel. On considère la fonction \(f_n\) définie sur \(\mathbb R\) par \[f_n(x)=\frac{an}{\pi(1+n^2x^2)}.\]
1
Déterminer \(a\) pour que \(f_n\) soit une densité de variable aléatoire.
2
Soit \((X_n)\) une suite de variables aléatoires telle que chaque \(X_n\) admet pour densité \(f_n\). Étudier l’existence de moments pour \(X_n\).
3
Étudier la convergence en loi de la suite \((X_n)\).
4
Étudier la convergence en probabilité de la suite \((X_n)\).