Etant donnés trois nombres réels dans l’intervalle \([0;1]\), on définit deux stratégies :
- Stratégie A :
-
choisir le plus grand des trois nombres ;
- Stratégie B :
-
choisir la somme des deux nombres les plus petits.
Deux hobbits jouent au jeu comportant les étapes suivantes :
choisir entre la stratégie A et la stratégie B ;
à l’aide d’un générateur pseudo aléatoire, tirer au hasard et de manière indépendante trois nombres réels entre 0 et 1 ;
le gagnant est celui qui obtient la plus grande valeur, compte tenu de la stratégie choisie.
On note \(X_1\), \(X_2\), \(X_3\) les nombres obtenus lors des tirages au sort. On note \(Y_A\) la variable égale à la valeur obtenue par la stratégie \(A\) et \(Y_B\) la variable égale à la valeur obtenue par la stratégie \(B\).
Quelle est la loi de probabilité suivie par chaque variable aléatoire \(X_i\), \(i \in \{1,2,3\}\) ?
Exprimer \(Y_A\) en fonction des \(X_i\).
Exprimer \(Y_B\) en fonction de \(Y_A\) et des \(X_i\).
Déterminer la fonction de répartition de \(Y_A\). En déduire que \(Y_A\) est une variable aléatoire absolument continue dont on déterminera une fonction densité.
En comparant l’espérance des variables aléatoires \(Y_A\) et \(Y_B\) , peut-on dire qu’il existe une meilleure stratégie ?