Un fournisseur d’accès internet met en place un point local d’accès qui dessert \(5\,000\) abonnés. À un instant donné, chaque abonné a une probabilité égale à \(0.20\) d’être connecté. Les comportements des abonnés sont supposés indépendants les uns des autres.
On note \(X\) la variable aléatoire égale au nombre d’abonnés connectés à un instant \(t\). Quelle est la loi de \(X\) ? Quelle est son espérance ? Son écart-type ?
On pose \(Y=\frac{X-1\,000}{\sqrt{800}}\). Justifier précisément que l’on peut approcher la loi de \(Y\) par la loi normale centrée réduite.
Le fournisseur d’accès souhaite savoir combien de connexions simultanées le point d’accès doit pouvoir gérer pour que sa probabilité d’être saturé à un instant donné soit inférieure à \(2.5\)%. En utilisant l’approximation précédente, proposer une valeur approchée de ce nombre de connexions.