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Le Laplacien $\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} +\frac{\partial^2}{\partial y^2}$ est un opérateur différentiel qui joue un rôle important en analyse complexe. Soit $f(z) = u(x,y) + i\, v(x,y)$ une fonction holomorphe sur un ouvert du plan complexe. On sait que $f$, donc $u$ et $v$, admettent des dérivées partielles de tous les ordres. En utilisant les équations de Cauchy-Riemann, montrer que $u$ et $v$ vérifient l’équation de Laplace: $$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} =0 \qquad \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 v}{\partial y^2} =0$$ On dit d’une fonction vérifiant l’équation de Laplace qu’elle est harmonique. La fonction holomorphe $f = u + i v$ est aussi une fonction harmonique puisque $\Delta(f) = \Delta(u) + i \Delta(v) = 0$.