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Le Laplacien \(\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} +\frac{\partial^2}{\partial y^2}\) est un opérateur différentiel qui joue un rôle important en analyse complexe. Soit \(f(z) = u(x,y) + i\, v(x,y)\) une fonction holomorphe sur un ouvert du plan complexe. On sait que \(f\), donc \(u\) et \(v\), admettent des dérivées partielles de tous les ordres. En utilisant les équations de Cauchy-Riemann, montrer que \(u\) et \(v\) vérifient l’équation de Laplace: \[\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} =0 \qquad \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 v}{\partial y^2} =0\] On dit d’une fonction vérifiant l’équation de Laplace qu’elle est harmonique. La fonction holomorphe \(f = u + i v\) est aussi une fonction harmonique puisque \(\Delta(f) = \Delta(u) + i \Delta(v) = 0\).