Nous allons ici étudier, pas à pas, la résolution d’une question d’optimisation sous-contraintes. Nous souhaitons déterminer le maximum de la fonction \(f: (x,y)\mapsto x^2+y^2\) sous la contrainte \(x^4+y^4=1\).
Justifier que la courbe \(\Gamma\): \(x^4+y^4=1\) est un compact de \(\R^2\).
Que pouvez-vous en déduire pour la fonction \(f\) ?
Posons la fonction \(g: (x,y)\mapsto x^4+y^4-1\), représentant la contrainte. Ainsi, \(\Gamma\) est l’ensemble des \((x,y)\in \mathbb{R}^2\) tels que \(g(x,y)=0\).
Soit \((x_0;y_0)\in \Gamma\) un point tel que \(f \vert_{\Gamma}\) admet un maximum en \((x_0;y_0)\). Que pouvez-vous dire (intuitivement) de la dérivée directionnelle de \(f\) en \((x_0;y_0)\) dans n’importe quelle direction tangentielle à \(\Gamma\) en \((x_0;y_0)\) ?
Pour \(u \in \mathbb{R}^2\), on désigne par \(D_u f(x_0;y_0)\) la dérivée directionnelle de \(f\) dans la direction du vecteur \(u\) et par \(\nabla f\) son gradient. On rappelle que \[D_u f(x_0;y_0) = \nabla f(x_0;y_0)\cdot u\]
Que pouvez-vous alors dire du gradient de \(f\) en \((x_0;y_0)\) par rapport au vecteur \(u\) si celui-ci est tangent à \(\Gamma\) en \((x_0;y_0)\) ?
En déduire alors la colinéarité de \(\nabla f (x_0;y_0)\) et \(\nabla g (x_0:y_0)\), et exploiter cette condition pour obtenir les couples solutions possibles du système.