Soient \(p\) et \(q \in ]0, + \infty[\) tels que \(\frac 1p + \frac 1q = 1\).
Montrer que \(\forall x, y>0\) \(xy \leq \frac{x^p}p + \frac{y^q}q\).
Soient \(x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n>0\) tels que \(\sum\limits_{i = 1} ^n x_i^p =\sum\limits_{i = 1}^n y_i^q = 1\). Montrer que \(\sum\limits_{i = 1} ^n x_i y_i \leq 1\).
Soient \(x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n>0\). Montrer l’inégalité de Hölder : \[\sum\limits_{i = 1} ^n x_i y_i \leq (\sum\limits_{i = 1} ^n x_i^p )^{\frac 1p} (\sum\limits_{i = 1} ^n y_i^q )^{\frac 1q}\]
Soit \(p>1\). En écrivant \((x_i + y_i)^p = x_i (x_i + y_i)^{p-1} + y_i (x_i + y_i)^{p-1}\), montrer l’inégalité de Minkowski : \[(\sum\limits_{i = 1} ^n { (x_i + y_i)}^p )^{\frac 1p} \leq (\sum\limits_{i = 1} ^n x_i^p )^{\frac 1p} + (\sum\limits_{i = 1} ^n y_i^p )^{\frac 1p}\]
Soit \((a_n)\) une suite strictement positive, \(u_n = \sum\limits_{k = 1}^n a_k^2\) et \(v_n= \sum\limits_{k = 1}^n \frac{a_k}k\). Montrer que si \((u_n)\) converge alors \((v_n)\) aussi.