A présent, nous allons introduire un outil permettant d’aller plus vite dans la résolution de ces problèmes: le Lagrangien. Si l’on souhaite étudier les extremums de la fonction \(f\) soumise à la contrainte \(g(x,y)=0\), on introduit le Lagrangien \(L(x,y,\lambda)\) défini par : \[L(x,y,\lambda)= f(x,y)-\lambda g(x,y)\]
Donnons un exemple d’étude pour étudier les extremas de la fonction \(f(x,y)=x^2+y^2-4xy\) sous la contrainte \(x^2+y^2=8\).
Ecrire le Lagrangien associé à ce problème d’optimisation sous contrainte.
Déterminer ses points stationnaires (ie. vérifiant \(\frac{\partial L}{\partial x}= \frac{\partial L}{\partial y}= \frac{\partial L}{\partial \lambda}=0\).
Donner l’équation de l’espace vectoriel tangent \(T\) à la courbe de contrainte en chacun des points critiques.
On désigne par \(H_L(x,y)\) la hessienne de la fonction \(L\), vue comme fonction de deux variables. On définit alors la forme quadratique \(Q(u,v)\) associé au Lagrangien par \[Q(u,v)= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} u & v\end{pmatrix} \cdot H_L \cdot \begin{pmatrix} u \\ v\end{pmatrix} ~~~~\text{ avec }~~~~ H_L(x,y) = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 L}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 L}{\partial x \partial y} \\ \frac{\partial^2 L}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 L}{\partial y^2} \end{pmatrix}\] Donner une expression de \(Q(u,v)\).
Pour chacun des points critiques obtenus précédemment, déterminer sa nature en étudiant la forme quadratique \(Q(u,v)\), pour \((u,v)\in T\) un vecteur tangent à la contrainte en ce point. On utilisera le fait que si \(Q(u,v)>0\), ce point est un minimum alors que si \(Q(u,v)<0\), ce point est un maximum.