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Déterminer les points stationnaires de la fonction $f$ de deux variables définie par $f(x,y)= x\hskip 2pt (x+1)^2 - y^2$ et préciser la nature de chacun d’eux.

Tracer la courbe constituée des points tels que $f(x,y)=0$ et $x \geq 0$. (Indication: Étudier la fonction $x\mapsto \sqrt{x} \hskip 2pt (x+1)$ pour $x\geq 0$).

Montrer que le point $(-1,0)$ est un point isolé de la partie $${\cal C}=\{(x,y); f(x,y)=0\}$$ du plan, c’est-à-dire, le point $(-1,0)$ appartient à cette partie et il existe un nombre réel $\varepsilon >0$ tel que $D_{\varepsilon} \cap {\cal C} =\{(-1,0)\}$ où $D_{\varepsilon}$ est le disque ouvert centré en $(-1,0)$ et de rayon $\varepsilon$.

Énoncer le théorème des fonctions implicites.

Montrer que, quel que soit le point $(x_0,y_0)$ de ${\cal C}$ distinct de $(-1,0)$, au moins une des deux alternatives (i) ou (ii) ci-dessous est vérifiée:

[(i)] Il existe une fonction $h$ de classe $C^1$ de la variable $x$ définie dans un intervalle ouvert approprié telle que $h(x_0)=y_0$ et telle que, pour qu’au voisinage de $(x_0,y_0)$ les coordonnées $x$ et $y$ du point $(x,y)$ satisfassent à l’équation $f(x,y)=0$ il faut et il suffit que $y=h(x)$.

[(ii)] Il existe une fonction $k$ de classe $C^1$ de la variable $y$ définie dans un intervalle ouvert approprié telle que $h(y_0)=x_0$ et telle que, pour qu’au voisinage de $(x_0,y_0)$ les coordonnées $x$ et $y$ du point $(x,y)$ satisfassent à l’équation $f(x,y)=0$ il faut et il suffit que $x=k(y)$.