Déterminer les points stationnaires de la fonction \(f\) de deux variables définie par \(f(x,y)= x\hskip 2pt (x+1)^2 - y^2\) et préciser la nature de chacun d’eux.
Tracer la courbe constituée des points tels que \(f(x,y)=0\) et \(x \geq 0\). (Indication: Étudier la fonction \(x\mapsto \sqrt{x} \hskip 2pt (x+1)\) pour \(x\geq 0\)).
Montrer que le point \((-1,0)\) est un point isolé de la partie \[{\cal C}=\{(x,y); f(x,y)=0\}\] du plan, c’est-à-dire, le point \((-1,0)\) appartient à cette partie et il existe un nombre réel \(\varepsilon >0\) tel que \(D_{\varepsilon} \cap {\cal C} =\{(-1,0)\}\) où \(D_{\varepsilon}\) est le disque ouvert centré en \((-1,0)\) et de rayon \(\varepsilon\).
Énoncer le théorème des fonctions implicites.
Montrer que, quel que soit le point \((x_0,y_0)\) de \({\cal C}\) distinct de \((-1,0)\), au moins une des deux alternatives (i) ou (ii) ci-dessous est vérifiée:
[(i)] Il existe une fonction \(h\) de classe \(C^1\) de la variable \(x\) définie dans un intervalle ouvert approprié telle que \(h(x_0)=y_0\) et telle que, pour qu’au voisinage de \((x_0,y_0)\) les coordonnées \(x\) et \(y\) du point \((x,y)\) satisfassent à l’équation \(f(x,y)=0\) il faut et il suffit que \(y=h(x)\).
[(ii)] Il existe une fonction \(k\) de classe \(C^1\) de la variable \(y\) définie dans un intervalle ouvert approprié telle que \(h(y_0)=x_0\) et telle que, pour qu’au voisinage de \((x_0,y_0)\) les coordonnées \(x\) et \(y\) du point \((x,y)\) satisfassent à l’équation \(f(x,y)=0\) il faut et il suffit que \(x=k(y)\).