Dans le plan \(xOy\), on porte sur \(Ox\) une suite de points \(a_1, a_2,\ldots,a_n,\ldots\) et sur \(Oy\) une suite de points \(b_1, b_2,\ldots,b_n,\ldots\,\), construites de la manière suivante :
- (i)
\(a_1=2\) et \(b_1=1\),
- (ii)
\(a_n= {a_{n-1}+b_{n-1} \over2}\),
- (iii)
\(a_nb_n=2\) (le rectangle de côtés \(a_n\) et \(b_n\) a pour aire 2).
Représentez cette suite de rectangles de côtés \(a_n\) et \(b_n\).
Démontrez successivement que : \(\forall n,\; b_n < a_n\) ; \((a_n)_{n \in\bf N}\) décroissante ; \((b_n)_{n\in\bf N}\) croissante.
Calculez \(a_n-b_n\) en fonction de \(a_{n-1}-b_{n-1}\) et \(a_n\). Montrez que l’on a l’inégalité : \[a_n-b_n < {{(a_{n-1}-b_{n-1})}^2 \over4}.\]
Calculez les premiers termes de la suite \(a_1, a_2,\ldots,a_6\). Combien de décimales exactes de \(\sqrt2\) obtenez-vous à chaque pas ? Utilisez l’inégalité précédente pour montrer que le nombre de décimales exactes obtenues double grosso modo à chaque pas.