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Dans le plan $xOy$ , on porte sur $Ox$ une suite de points $a_1, a_2,\ldots,a_n,\ldots$ et sur $Oy$ une suite de points $b_1, b_2,\ldots,b_n,\ldots\,$ , construites de la manière suivante :

(i): $a_1=2$ et $b_1=1$ ,
(ii): $a_n= {a_{n-1}+b_{n-1} \over2}$ ,
(iii): $a_nb_n=2$ (le rectangle de côtés $a_n$ et $b_n$ a pour aire 2).

Représentez cette suite de rectangles de côtés $a_n$ et $b_n$ .

Démontrez successivement que : $\forall n,\; b_n < a_n$ ; $(a_n)_{n \in\bf N}$ décroissante ; $(b_n)_{n\in\bf N}$ croissante.

Calculez $a_n-b_n$ en fonction de $a_{n-1}-b_{n-1}$ et $a_n$ . Montrez que l’on a l’inégalité : $a_n-b_n < {{(a_{n-1}-b_{n-1})}^2 \over4}.$

Calculez les premiers termes de la suite $a_1, a_2,\ldots,a_6$ . Combien de décimales exactes de $\sqrt2$ obtenez-vous à chaque pas ? Utilisez l’inégalité précédente pour montrer que le nombre de décimales exactes obtenues double grosso modo à chaque pas.

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