Soit $x\in\Rr$ . Alors, $E(x)\leq x<E(x)+1$ puis $E(x)+1\leq x+1<(E(x)+1)+1$ . Comme $E(x)+1\in\Zz$ , on a bien $E(x+1)=E(x)+1$ . Soient $(x,y)\in\Rr^2$ . On a $E(x)+E(y)\leq x+y$ . Ainsi, $E(x)+E(y)$ est un entier relatif inférieur ou égal à $x+y$ . Comme $E(x+y)$ est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à $x+y$ , on a donc $E(x)+E(y)\leq E(x+y)$ .

Améliorons. $E(x)\leq x<E(x)+1$ et $E(y)\leq y<E(y)+1$ fournit $E(x)+E(y)\leq x+y<E(x)+E(y)+2$ et donc $E(x+y)$ vaut, suivant le cas, $E(x)+E(y)$ ou $E(x)+E(y)+1$ (et est dans tous les cas supérieur ou égal à $E(x)+E(y)$ ). Soit $(x,y)\in\Rr^2$ . Posons $k=E(x)$ et $l=E(y)$ .

1er cas. Si $x\in[k,k+\frac{1}{2}[$ et $y\in[l,l+\frac{1}{2}[$ , alors $x+y\in[k+l,k+l+1[$ et donc $E(x+y)=k+l$ , puis $E(x)+E(y)+E(x+y)=k+l+k+l=2k+2l$ . D’autre part, $2x\in[2k,2k+1[$ et $2y\in[2l,2l+1[$ . Par suite, $E(2x)+E(2y)=2k+2l$ . Dans ce cas, $E(x)+E(y)+E(x+y)=E(2x)+E(2y)$ .
2ème cas. Si $x\in[k+\frac{1}{2},k+1[$ et $y\in[l,l+\frac{1}{2}[$ , alors $x+y\in[k+l+\frac{1}{2},k+l+\frac{3}{2}[$ et donc $E(x+y)=k+l$ ou $k+l+1$ ,puis $E(x)+E(y)+E(x+y)=2k+2l$ ou $2k+2l+1$ . D’autre part, $2x\in[2k+1,2k+2[$ et $2y\in[2l,2l+1[$ . Par suite, $E(2x)+E(2y)=2k+2l+1$ . Dans ce cas, $E(x)+E(y)+E(x+y)\leq E(2x)+E(2y)$ .
3ème cas. Si $x\in[k,k+\frac{1}{2}[$ et $y\in[l+\frac{1}{2},l+1[$ , on a de même $E(x)+E(y)+E(x+y)\leq E(2x)+E(2y)$ .
4ème cas. Si $x\in[k+\frac{1}{2},k+1[$ et $y\in[l+\frac{1}{2},l+1[$ , on a $E(x)+E(y)+E(x+y)=2k+2l+2=E(2x)+E(2y)$ .

Finalement, on a dans tous les cas $E(x)+E(y)+E(x+y)\leq E(2x)+E(2y)$ .

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