Soit \(x\in\Rr\). Alors, \(E(x)\leq x<E(x)+1\) puis \(E(x)+1\leq x+1<(E(x)+1)+1\). Comme \(E(x)+1\in\Zz\), on a bien \(E(x+1)=E(x)+1\). Soient \((x,y)\in\Rr^2\). On a \(E(x)+E(y)\leq x+y\). Ainsi, \(E(x)+E(y)\) est un entier relatif inférieur ou égal à \(x+y\). Comme \(E(x+y)\) est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à \(x+y\), on a donc \(E(x)+E(y)\leq E(x+y)\).

Améliorons. \(E(x)\leq x<E(x)+1\) et \(E(y)\leq y<E(y)+1\) fournit \(E(x)+E(y)\leq x+y<E(x)+E(y)+2\) et donc \(E(x+y)\) vaut, suivant le cas, \(E(x)+E(y)\) ou \(E(x)+E(y)+1\) (et est dans tous les cas supérieur ou égal à \(E(x)+E(y)\)). Soit \((x,y)\in\Rr^2\). Posons \(k=E(x)\) et \(l=E(y)\).

Si \(x\in[k,k+\frac{1}{2}[\) et \(y\in[l,l+\frac{1}{2}[\), alors \(x+y\in[k+l,k+l+1[\) et donc \(E(x+y)=k+l\), puis \(E(x)+E(y)+E(x+y)=k+l+k+l=2k+2l\). D’autre part, \(2x\in[2k,2k+1[\) et \(2y\in[2l,2l+1[\). Par suite, \(E(2x)+E(2y)=2k+2l\). Dans ce cas, \(E(x)+E(y)+E(x+y)=E(2x)+E(2y)\). [2ème cas.] Si \(x\in[k+\frac{1}{2},k+1[\) et \(y\in[l,l+\frac{1}{2}[\), alors \(x+y\in[k+l+\frac{1}{2},k+l+\frac{3}{2}[\) et donc \(E(x+y)=k+l\) ou \(k+l+1\),puis \(E(x)+E(y)+E(x+y)=2k+2l\) ou \(2k+2l+1\). D’autre part, \(2x\in[2k+1,2k+2[\) et \(2y\in[2l,2l+1[\). Par suite, \(E(2x)+E(2y)=2k+2l+1\). Dans ce cas, \(E(x)+E(y)+E(x+y)\leq E(2x)+E(2y)\). [3ème cas.] Si \(x\in[k,k+\frac{1}{2}[\) et \(y\in[l+\frac{1}{2},l+1[\), on a de même \(E(x)+E(y)+E(x+y)\leq E(2x)+E(2y)\). [4ème cas.] Si \(x\in[k+\frac{1}{2},k+1[\) et \(y\in[l+\frac{1}{2},l+1[\), on a \(E(x)+E(y)+E(x+y)=2k+2l+2=E(2x)+E(2y)\).

Finalement, on a dans tous les cas \(E(x)+E(y)+E(x+y)\leq E(2x)+E(2y)\).

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