Un joueur tire "parfaitement au hasard" sur une cible de 10 cm de rayon, constituée de deux parties : un disque central de rayon 5 cm, numéroté 1, et une couronne extérieure, numérotée 2, délimitée par les cercles de rayon 5 cm et 10 cm. La probabilité d’atteindre la partie \(k\) est proportionnelle à l’aire de cette partie. On suppose que le joueur atteint la cible à chaque lancer.
On note \(X\) le numéro de la partie de la cible dans laquelle le joueur a tiré. Déterminer la loi de probabilité de \(X\).
Le joueur gagne 1 euro s’il tire dans la partie 1, tandis qu’il perd 1 euro s’il atteint la partie 2. On note \(G\) le gain du joueur pour un lancer.
Calculer l’espérance de \(G\).
Le jeu est-il favorable au joueur ?
- \question{Déterminer la loi de $Y_{n}$, son espérance et sa variance.}
Déterminer la loi de \(Y_{n}\), son espérance et sa variance.
En utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebytchev, que peut-on dire de la probabilité suivante : \[p=\mathbb{P}\left(2425 \leq Y_{10000} \leq 2575\right) ?\]
En utilisant une approximation de la loi de \(Y_{10000}\), estimer \(p\).
Que peut-on dire des résultats trouvés aux questions (b) et (c) ?