Un débutant à un jeu effectue plusieurs parties successives. Pour la première partie, il a une probabilité de \(\frac{1}{2}\) de gagner. Pour les parties suivantes, on suppose que :
s’il a gagné la partie précédente, il a une probabilité de \(0.6\) de gagner la partie suivante ;
s’il a perdu la partie précédente, il a une probabilité de \(0.7\) de perdre la partie suivante.
Soit \(G_n\) l’événement le joueur a gagné la \(n\)-ième partie et on note \(u_n = \prob(G_n)\). On note également \(v_n = \prob(\overline{G_n})\).
Calculer \(u_1\), \(v_1\), \(u_2\), \(v_2\).
Montrer que pour tout entier \(n \geqslant 1\), on a \(u_{n+1} = 0.6 u_n + 0.3 v_n\). En déduire une relation matricielle entre \(\begin{pmatrix} u_{n+1} \\ v_{n+1} \end{pmatrix}\) et \(\begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix}\).
Montrer que la suite de terme général \(u_n - \frac{3}{7}\) est une suite géométrique de raison \(0.3\) et en déduire une expression de \(u_n\) et \(v_n\) en fonction de \(n\) ainsi que leur limite quand \(n \to +\infty\).