La probabilité $p=\frac{1}{100}$ étant faible, on peut appliquer la loi de Poisson d’espérance $100p=1$ au nombre $X$ de centenaires pris parmi cent personnes. On cherche donc: $P[X\geq 1]=1-P[X=0]=1-e^{-1}\simeq 63\%$ .

Sur un groupe de $200$ personnes: l’espérance est 2 donc: $P[X'\geq 1]=1-e^{-2}\simeq 86\%.$ La probabilité des événements : $[X' =1]$ et $[X' =2]$ sont les mêmes et valent: $0.14$ . Ainsi, sur 200 personnes, la probabilité de trouver exactement un centenaire vaut $0.14$ , égale à la probabilité de trouver exactement deux centenaires. Cette valeur correspond au maximum de probabilité pour une loi de Poisson d’espérance $2$ et se généralise. Si $X$ obeit à une loi de Poisson d’espérance $K$ , alors le maximum de probabilité est obtenu pour les événements $[X=K-1]$ et $[X=K].$

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