Si \(\int_{0}^{1}f(t)\;dt\geq0\),

\[\begin{align*}\ensuremath \left|\int_{0}^{1}f(t)\;dt\right|=\int_{0}^{1}|f(t)|\;dt&\Leftrightarrow\int_{0}^{1}f(t)\;dt=\int_{0}^{1}|f(t)|\;dt\Leftrightarrow \int_{0}^{1}(|f(t)|-f(t))\;dt=0\\ &\Leftrightarrow|f|-f=0\;(\mbox{fonction continue positive d'intégrale nulle})\\ &\Leftrightarrow f=|f|\Leftrightarrow f\geq0. \end{align*}\]

Si \(\int_{0}^{1}f(t)\;dt\leq0\), alors \(\int_{0}^{1}-f(t)\;dt\geq0\) et d’après ce qui précède, \(f\) est solution si et seulement si \(-f=|-f|\) ou encore \(f\leq0\).

En résumé, \(f\) est solution si et seulement si \(f\) est de signe constant sur \([0,1]\).

exo7 5463