L2 Analyse Série entière Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSIPrépa PTPrépa BCPST 3 questions

Etude d'une série entière

Soit la série entière d’une variable réelle définie par : f ⁣:x↦∑n=1+∞sin⁡(1n)xn.f \colon x \mapsto \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\sin \left( {\frac{1}{{\sqrt n }}} \right)x^n } .

1

Donner un équivalent de sin⁡(1n)\sin\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) quand n→+∞n \to +\infty.

2

Déterminer le rayon de convergence RR de la série entière ff.

3

La série est-elle convergente lorsque x=Rx=R ? x=−Rx=-R ? En déduire le domaine de convergence de ff.

Exercice 800X

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