L1 Algèbre Logique, ensemble, raisonnement Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPST 3 questions

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Soit EE un ensemble et A\mathcal A une partie de P(E)\mathcal P(E). On dit que A\mathcal A est une algèbre de parties EE si les conditions suivantes sont vérifiées:

  • A\mathcal A n’est pas vide.

  • Si X∈AX\in \mathcal A, alors E∖XE\setminus X aussi.

  • A\mathcal A est stable par union finie, autrement dit : pour tout n∈N∗n\in \N^* et toute famille U1,⋯UnU_1, \cdots U_n d’éléments de A\mathcal A, on a ⋃i=1nUi∈A\bigcup_{i=1}^n U_i\in \mathcal A.

1

Montrer que P(E)\mathcal P(E) est une algèbre de parties de EE.

2

Montrer qu’une algèbre de parties de EE est stable par intersection finie.

3

Combien d’algèbres de parties y a-t-il si EE a (exactement) un, deux, ou trois éléments ?

Exercice 8gc7

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