Un joueur effectue une suite de parties de pile ou face indépendantes, avec probabilité \(p\) d’obtenir pile à chaque partie. Soit \(n\) un entier. Le joueur peut choisir entre deux jeux :
- le Jeu 1 :
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le joueur effectue \(2n-1\) parties. Il est déclaré vainqueur s’il obtient au moins \(n\) fois pile ;
- le Jeu 2 :
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le joueur effectue \(2n\) parties. S’il obtient au moins \(n+1\) fois pile, il est déclaré vainqueur. S’il obtient \(n\) fois pile exactement, on tire au sort et il est déclaré vainqueur avec probabilité \(\frac{1}{2}\).
On note \(X\) le nombre de piles obtenus lorsque le joueur choisit le Jeu 1, et \(Y\) le nombre de piles obtenus lorsqu’il choisit le Jeu 2. On note \(p_1\) la probabilité de gagner au Jeu 1 et \(p_2\) la probabilité de gagner au Jeu 2.
L’objectif est de savoir s’il vaut mieux jouer au Jeu 1 ou au Jeu 2.
Écrire \(Y=X+U\) où \(U\) est une variable aléatoire indépendante de \(X\) dont la loi reste à préciser.
Démontrer que \(\PP(Y>n) = \PP(X>n) + p\PP(X=n)\).
Vérifier que \(p_1-p_2 = (1-p)\PP(X=n) - \frac{1}{2}\PP(Y=n)\)
Conclure.