Soit $\lambda\in\Rr$ . $\mathcal{C}_\lambda$ est le support de l’arc paramétré $t\mapsto\left( \begin{array}{c} t\\ \lambda te^{-t} \end{array} \right)$ . $\mathcal{C}_0$ est l’axe $(Ox)$ et donc $C_0$ n’est pas défini, puis $\mathcal{C}_{-\lambda}$ est la symétrique de $\mathcal{C}_\lambda$ par rapport à l’axe $(Ox)$ et donc $C_{-\lambda}$ est le symétrique de $C_\lambda$ par rapport à l’axe $(Ox)$ . Dans ce qui suit, on suppose $\lambda>0$ .

$\overrightarrow{\frac{dM}{dt}}=\left( \begin{array}{c} 1\\ \lambda(1-t)e^{-t} \end{array} \right)$ .

Par suite $\frac{ds}{dt}=\sqrt{1+\lambda^2(1-t)^2e^{-2t}}$ , $\overrightarrow{\tau}(t)=\frac{1}{\sqrt{1+\lambda^2(1-t)^2e^{-2t}}}\left( \begin{array}{c} 1\\ \lambda(1-t)e^{-t} \end{array} \right)$ ,

$\overrightarrow{n}(t)=\frac{1}{\sqrt{1+\lambda^2(1-t)^2e^{-2t}}}\left( \begin{array}{c} -\lambda(1-t)e^{-t}\\ 1 \end{array} \right)$ et on peut prendre $\alpha(t)=\Arccos\left(\frac{1}{\sqrt{1+\lambda^2(1-t)^2e^{-2t}}}\right)$ (car $\overrightarrow{\tau}(t)$ a une abscisse strictement positive). Ensuite,

$\frac{d\alpha}{dt}=\frac{\lambda^2((2t-2)-2(t-1)^2)e^{-2t}}{2(1+\lambda^2(1-t)^2e^{-2t})^{3/2}}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{1+\lambda^2(1-t)^2e^{-2t}}}}$

et donc $\frac{d\alpha}{dt}(0)=\frac{-4\lambda^2}{2(1+\lambda^2)^{3/2}}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{1+\lambda^2}}}=\frac{-2\lambda}{1+\lambda^2}$ puis $R(0)=\frac{ds/dt}{d\alpha/dt}(0)=-\frac{1}{2\lambda}(1+\lambda^2)^{3/2}$ et donc

$C_\lambda=\Omega(0)=M(0)+R(0)\overrightarrow{n}(0)=O-\frac{1}{2\lambda}(1+\lambda^2)^{3/2}\frac{1}{\sqrt{1+\lambda^2}}\left( \begin{array}{c} -\lambda\\ 1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} (1+\lambda^2)/2\\ -(1+\lambda^2)/(2\lambda) \end{array} \right).$

L’ensemble des $C_\lambda$ , $\lambda\in\Rr^*$ , est le support de l’arc $\lambda\mapsto\left( \begin{array}{c} (1+\lambda^2)/2\\ -(1+\lambda^2)/(2\lambda) \end{array} \right)$ , $\lambda\in\Rr^*$ .

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