Les fonctions \(x\) et \(y\) sont de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\R\). Un point \(M(t)\) de la courbe est singulier si \(x'(t)=y'(t)=0\), or \[\left\{\begin{array}{l} x'(t)=\frac{4(t^2+1)-2t(4t-3)}{(t^2+1)^2}=\frac{-2(2t^2-3t-2)}{(t^2+1)^2}\\ \ \\ y'(t)=\frac{2(t^2+2)-2t(2t-1)}{(t^2+2)^2}=\frac{-2(t^2-t-2)}{(t^2+2)^2} \end{array}\right.\] Ainsi \(M(t)\) est singulier si et seulement si \(\left\{\begin{array}{l}2t^2-3t-2=0\\t^2-t-2=0\end{array}\right.\). Ce système admet une unique solution \(t=2\), correspondant au point \(M(2)\) de coordonnées \((1,\frac{1}{2})\).

Le vecteur dérivé est nul au point \(M(2)\) ; pour obtenir l’allure de la courbe au voisinage de ce point, il faut donc effectuer un développement limité à un ordre assez grand pour trouver deux termes non constants non nuls. Ici l’ordre 3 suffira, on pose \(t=2+h\) pour simplifier (ainsi “\(t\) proche de 2” devient “\(h\) proche de 0”): \[\begin{aligned} x(2+h)&=&\frac{4(2+h)-3}{(2+h)^2+1}=\frac{5+4h}{5+4h+h^2}=1-\frac{1}{5}h^2\cdot\frac{1}{1+\frac{4h+h^2}{5}}\\ &=&1-\frac{1}{5}h^2\cdot\left(1-\left(\frac{4h+h^2}{5}\right)+o\left(\frac{4h+h^2}{5}\right)\right)\\ &=&1-\frac{1}{5}h^2\cdot\left(1-\frac{4}{5}h+o(h)\right)\\ &=&1-\frac{1}{5}h^2+\frac{4}{25}h^3+o(h^3)\end{aligned}\] \[\begin{aligned} y(2+h)&=&\frac{2(2+h)-1}{(2+h)^2+2}=\frac{3+2h}{6+4h+h^2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{12}h^2\cdot\frac{1}{1+\frac{4h+h^2}{6}}\\ &=&\frac{1}{2}-\frac{1}{12}h^2\cdot\left(1-\left(\frac{4h+h^2}{6}\right)+o\left(\frac{4h+h^2}{6}\right)\right)\\ &=&\frac{1}{2}-\frac{1}{12}h^2\cdot\left(1-\frac{2}{3}h+o(h)\right)\\ &=&\frac{1}{2}-\frac{1}{12}h^2+\frac{1}{18}h^3+o(h^3)\end{aligned}\] On a donc le développement limité vectoriel suivant: \[M(2+h)=\begin{pmatrix}1\\ \frac{1}{2}\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{12}\end{pmatrix}\cdot h^2+ \begin{pmatrix}\frac{4}{25}\\ \frac{1}{18}\end{pmatrix}\cdot h^3+o(h^3)\] On vérifie que le terme constant du développement limité correspond bien à \(\begin{pmatrix}x(2)\\ y(2)\end{pmatrix}\) et que le terme linéaire, qui vaut \(\begin{pmatrix}x'(2)\\ y'(2)\end{pmatrix}\cdot h\), est nul. Les coefficients de \(h^2\) et \(h^3\) sont des vecteurs non nuls, \(M(2)\) est donc un point de rebroussement de première espèce (\(p=2\), \(q=3\)). La tangente est dirigée par le premier vecteur non nul, coefficient de \(h^k\) (avec \(k\ge1\)), donc ici le coefficient de \(h^2\) ; ainsi la tangente en \(M(2)\) est dirigée par \(\left(\begin{smallmatrix}-\frac{1}{5}\\ -\frac{1}{12}\end{smallmatrix}\right)\).

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