Soit $\mathcal{C}$ la courbe d’équation polaire $r=\tan\left(\frac{2\theta}{3}\right)$ . Domaine d’étude. Notons $D$ le domaine de définition de la fonction $r~:~\theta\mapsto\tan\left(\frac{2\theta}{3}\right)$ . $\theta\in D\Leftrightarrow\theta+6\pi\in D$ et $M(\theta+6\pi)=M(\theta)$ . On obtient donc la courbe complète quand $\theta$ décrit un intervalle de longueur $6\pi$ comme $[-3\pi,3\pi]$ . $\theta\in D\Leftrightarrow -\theta\in D$ et $M(-\theta)=s_{(Oy)}(M(\theta))$ . On étudie et on construit la portion de courbe correspondant à $\theta\in[0,3\pi]$ puis on obtient la courbe complète par réflexion d’axe $(Oy)$ . $\theta\in D\Leftrightarrow 3\pi-\theta\in D$ et $M(3\pi-\theta)=s_{(Ox)}(M(\theta))$ . On étudie et on construit la portion de courbe correspondant à $\theta\in\left[0,\frac{3\pi}{2}\right]$ puis on obtient la courbe complète par réflexion d’axe $(Ox)$ puis par réflexion d’axe $(Oy)$ . $\theta\in D\Leftrightarrow \frac{3\pi}{2}-\theta\in D$ et

$M\left(\frac{3\pi}{2}-\theta\right)=\left[-r(\theta),\frac{3\pi}{2}-\theta\right]=\left[r(\theta),\frac{\pi}{2}-\theta\right]=s_{y=x}(M(\theta))$ .

On étudie et on construit la portion de courbe correspondant à $\theta\in\left[0,\frac{3\pi}{4}\right]$ puis on obtient la courbe complète par réflexions successives d’axe la droite d’équation $y=x$ , puis d’axe $(Ox)$ et enfin d’axe $(Oy)$ . Pour $\theta\in\left[0,\frac{3\pi}{4}\right]$ , $r(\theta)$ existe si et seulement si $\theta\neq\frac{3\pi}{4}$ . On étudie donc sur $\theta\in\left[0,\frac{3\pi}{4}\right[$ .

Variations et signe de $r$ . La fonction $r$ est strictement croissante sur $\left[0,\frac{3\pi}{4}\right[$ , strictement positive sur $\left]0,\frac{3\pi}{4}\right[$ et s’annule en $0$ .

La tangente en $M(0)=O$ est la droite passant par $O$ et d’angle polaire $0$ c’est-à-dire l’axe $(Ox)$ . Etude quand $\theta$ tend vers $\frac{3\pi}{4}$ . Quand $\theta$ tend vers $\frac{3\pi}{4}$ par valeurs inférieures, $r(\theta)$ tend vers $+\infty$ . la courbe admet donc une direction asymptotique d’angle polaire $\frac{3\pi}{4}$ ou encore d’équation $y=-x$ . Recherchons une éventuelle droite asymptote. Pour cela, étudions $\displaystyle\lim_{\substack{\theta\rightarrow\frac{3\pi}{4}\\ \theta<\frac{3\pi}{4}}}r(\theta)\sin\left(\theta-\frac{3\pi}{4}\right)$ . Posons $h=\frac{3\pi}{4}-\theta$ ou encore $\theta=\frac{3\pi}{4}-h$ .

$r(\theta)\sin\left(\theta-\frac{3\pi}{4}\right)=\tan\left(\frac{\pi}{2}-\frac{2h}{3}\right)\sin(-h)=-\cotan h\sin h=-\cos h\rightarrow-1$ .

Ainsi, $\mathcal{C}$ admet une droite asymptote $(D)$ quand $\theta$ tend vers $\frac{3\pi}{4}$ . De plus,

$M(x,y)\in(D)\Leftrightarrow\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{v}_{\frac{3\pi}{4}}=-1\Leftrightarrow-\frac{1}{\sqrt{2}}x-\frac{1}{\sqrt{2}}y=-1\Leftrightarrow y=-x+\sqrt{2}$ .

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