Soit \(\mathcal{C}\) la courbe d’équation polaire \(r=\tan\left(\frac{2\theta}{3}\right)\). Domaine d’étude. Notons \(D\) le domaine de définition de la fonction \(r~:~\theta\mapsto\tan\left(\frac{2\theta}{3}\right)\). \(\theta\in D\Leftrightarrow\theta+6\pi\in D\) et \(M(\theta+6\pi)=M(\theta)\). On obtient donc la courbe complète quand \(\theta\) décrit un intervalle de longueur \(6\pi\) comme \([-3\pi,3\pi]\). \(\theta\in D\Leftrightarrow -\theta\in D\) et \(M(-\theta)=s_{(Oy)}(M(\theta))\). On étudie et on construit la portion de courbe correspondant à \(\theta\in[0,3\pi]\) puis on obtient la courbe complète par réflexion d’axe \((Oy)\). \(\theta\in D\Leftrightarrow 3\pi-\theta\in D\) et \(M(3\pi-\theta)=s_{(Ox)}(M(\theta))\). On étudie et on construit la portion de courbe correspondant à \(\theta\in\left[0,\frac{3\pi}{2}\right]\) puis on obtient la courbe complète par réflexion d’axe \((Ox)\) puis par réflexion d’axe \((Oy)\). \(\theta\in D\Leftrightarrow \frac{3\pi}{2}-\theta\in D\) et

\(M\left(\frac{3\pi}{2}-\theta\right)=\left[-r(\theta),\frac{3\pi}{2}-\theta\right]=\left[r(\theta),\frac{\pi}{2}-\theta\right]=s_{y=x}(M(\theta))\).

On étudie et on construit la portion de courbe correspondant à \(\theta\in\left[0,\frac{3\pi}{4}\right]\) puis on obtient la courbe complète par réflexions successives d’axe la droite d’équation \(y=x\), puis d’axe \((Ox)\) et enfin d’axe \((Oy)\). Pour \(\theta\in\left[0,\frac{3\pi}{4}\right]\), \(r(\theta)\) existe si et seulement si \(\theta\neq\frac{3\pi}{4}\). On étudie donc sur \(\theta\in\left[0,\frac{3\pi}{4}\right[\).

Variations et signe de \(r\). La fonction \(r\) est strictement croissante sur \(\left[0,\frac{3\pi}{4}\right[\), strictement positive sur \(\left]0,\frac{3\pi}{4}\right[\) et s’annule en \(0\).

La tangente en \(M(0)=O\) est la droite passant par \(O\) et d’angle polaire \(0\) c’est-à-dire l’axe \((Ox)\). Etude quand \(\theta\) tend vers \(\frac{3\pi}{4}\). Quand \(\theta\) tend vers \(\frac{3\pi}{4}\) par valeurs inférieures, \(r(\theta)\) tend vers \(+\infty\). la courbe admet donc une direction asymptotique d’angle polaire \(\frac{3\pi}{4}\) ou encore d’équation \(y=-x\). Recherchons une éventuelle droite asymptote. Pour cela, étudions \(\displaystyle\lim_{\substack{\theta\rightarrow\frac{3\pi}{4}\\ \theta<\frac{3\pi}{4}}}r(\theta)\sin\left(\theta-\frac{3\pi}{4}\right)\). Posons \(h=\frac{3\pi}{4}-\theta\) ou encore \(\theta=\frac{3\pi}{4}-h\).

\(r(\theta)\sin\left(\theta-\frac{3\pi}{4}\right)=\tan\left(\frac{\pi}{2}-\frac{2h}{3}\right)\sin(-h)=-\cotan h\sin h=-\cos h\rightarrow-1\).

Ainsi, \(\mathcal{C}\) admet une droite asymptote \((D)\) quand \(\theta\) tend vers \(\frac{3\pi}{4}\). De plus,

\(M(x,y)\in(D)\Leftrightarrow\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{v}_{\frac{3\pi}{4}}=-1\Leftrightarrow-\frac{1}{\sqrt{2}}x-\frac{1}{\sqrt{2}}y=-1\Leftrightarrow y=-x+\sqrt{2}\).

\[\]

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