La courbe est symétrique par rapport à $Oy$ . $M(\rho,\theta) = M_1(\rho_1,\theta_1)$ si et seulement si $\begin{cases}\theta_1\equiv \theta\ [2\pi]\cr \rho_1 = \rho\cr\end{cases}$ ou $\begin{cases}\theta_1\equiv \theta+\pi\ [2\pi]\cr \rho_1 = -\rho.\cr\end{cases}$

Dans le premier cas, $\rho=\rho_1 \Leftrightarrow \theta\theta_1 = -1$ pour $\theta \ne \theta_1$ ce qui donne l’équation en $\theta$ : $\theta^2+2k\pi\theta+1 = 0$ avec $k\in \Z$ . Cette équation à $k$ fixé non nul admet deux racines, ce qui donne deux familles de points doubles. De même, le second cas ammène deux autres familles définies par l’équation : $\theta^2+(2k+1)\pi\theta+1 = 0.$

exo7 4992