Soient $(R,\theta)\in\Rr^2$ puis $M$ le point du plan dont un couple de coordonnées polaires est $[r,\theta]$ .

$\begin{align*}\ensuremath M\in\mathcal{C}&\Leftrightarrow x^2(x^2+y^2)-(y-x)^2=0 \Leftrightarrow r^2\cos^2\theta\times r^2-(r\sin\theta-r\cos\theta)^2=0\\ &\Leftrightarrow r^2[r^2\cos^2\theta-(\sin\theta-\cos\theta)^2]=0\Leftrightarrow r=0\;\text{ou}\;r^2=\left(\frac{\sin\theta-\cos\theta}{\cos\theta}\right)^2\;(\cos\theta=0\;\text{ne fournit pas de solution})\\ &\Leftrightarrow r=0\;\text{ou}\;r=\tan\theta-1\;\text{ou}\;r=1-\tan\theta. \end{align*}$ $\mathcal{C}$ est donc la réunion de la courbe $(\mathcal{C}_1)$ d’équation polaire $r=\tan\theta-1$ , $(\mathcal{C}_2)$ d’équation polaire $r=1-\tan\theta$ et $\{O\}$ . On note que le point $O$ appartient à $(\mathcal{C}_1)$ car $\theta=\frac{\pi}{4}$ fournit $r=0$ . Donc $\mathcal{C}=\mathcal{C}_1\cup\mathcal{C}_2\cup\{O\}=\mathcal{C}_1\cup\mathcal{C}_2$ . Ensuite, on notant $r_1$ et $r_2$ respectivement la fonction $\theta\mapsto\tan\theta-1$ et $r_2=-r_1$ ,

$M[\theta+\pi,r_2(\theta+\pi)]=M[\theta+\pi,r_2(\theta)]=M[\theta+\pi,-r_1(\theta)]=M[\theta,r_1(\theta)]$ ,

et comme $\theta+\pi$ décrit $\Rr$ si et seulement si $\theta$ décrit $\Rr$ , les courbes $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ sont une seule et même courbe.

$\mathcal{C}$ est la courbe d’équation polaire $r=\tan\theta-1$ .

Construction de $\mathcal{C}$ .

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