Domaine d’étude. Pour tout réel \(t\), \(M(t)\) existe. Pour tout réel \(t\), \(M(t+2\pi)=M(t)\). Par suite, la courbe complète est obtenue quand \(t\) décrit un segment de longueur \(2\pi\) comme par exemple \([-\pi,\pi]\). Pour tout réel \(t\), \[M(-t)=\left(\begin{array}{c} \cos^3(-t)\\ \sin^3(-t) \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} \cos^3t\\ -\sin^3t \end{array}\right) =s_{(Ox)}(M(t)).\] On étudie et on construit la courbe pour \(t\in[0,\pi]\), puis on obtient la courbe complète par réflexion d’axe \((Ox)\). Pour tout réel \(t\), \[M(t+\pi)=\left(\begin{array}{c} \cos^3(t+\pi)\\ \sin^3(t+\pi) \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} -\cos^3t\\ -\sin^3t \end{array}\right) =s_O(M(t)).\] La portion de courbe obtenue quand \(t\) décrit \([-\pi,0]\) est donc aussi la symétrique par rapport à \(O\) de la portion de courbe obtenue quand \(t\) décrit \([0,\pi]\). Néanmoins, cette constatation ne permet pas de réduire davantage le domaine d’éude. Pour tout réel \(t\), \[M(\pi-t)=\left(\begin{array}{c} \cos^3(\pi-t)\\ \sin^3(\pi-t) \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} -\cos^3t\\ \sin^3t \end{array}\right) =s_{(Oy)}(M(t)).\] On étudie et on construit la courbe pour \(t\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\), puis on obtient la courbe complète par réflexion d’axe \((Oy)\), puis par réflexion d’axe \((Ox)\). Pour tout réel \(t\), \[M\left(\frac{\pi}{2}-t\right)=\left(\begin{array}{c} \cos^3\left(\frac{\pi}{2}-t\right)\\ \rule{0mm}{6mm}\sin^3\left(\frac{\pi}{2}-t\right) \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} \sin^3t\\ \cos^3t \end{array}\right) =s_{y=x}(M(t)).\] On étudie et on construit la courbe pour \(t\in\left[0,\frac{\pi}{4}\right]\), puis on obtient la courbe complète par réflexion d’axe la droite d’équation \(y=x\), puis d’axe \((Oy)\) et enfin d’axe \((Ox)\).

Variations conjointes de \(\bf{x}\) et \(\bf{y.}\) La fonction \(t\mapsto x(t)\) est strictement décroissante sur \(\left[0,\frac{\pi}{4}\right]\) et la fonction \(t\mapsto y(t)\) est strictement croissante sur \(\left[0,\frac{\pi}{4}\right]\). Etude des points singuliers. Pour \(t\in\Rr\), \[\overrightarrow{\frac{dM}{dt}}(t)=\left(\begin{array}{c} -3a\cos^2t\sin t\\ 3a\sin^2t\cos t \end{array}\right)=3a\cos t\sin t\left(\begin{array}{c} -\cos t\\ \sin t \end{array}\right).\] Pour tout réel \(t\), le vecteur \(\left(\begin{array}{c} -\cos t\\ \sin t \end{array}\right)\) est unitaire et n’est donc pas nul. Par suite, \[\overrightarrow{\frac{dM}{dt}}(t)=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow 3a\cos t\sin t=0\Leftrightarrow\cos t=0\;\mbox{ou}\;\sin t=0\Leftrightarrow t\in\frac{\pi}{2}\Zz.\] Les points singuliers sont donc les \(M\left(\frac{k\pi}{2}\right)\), \(k\in\Zz\). Pour \(t\notin\frac{\pi}{2}\Zz\), \(M(t)\) est un point régulier et la tangente en \(M(t)\) est dirigée par le vecteur \(\left(\begin{array}{c} -\cos t\\ \sin t \end{array}\right)\). Etudions alors le point singulier \(M(0)\). Pour \(t\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\setminus\{0\}\), \[\begin{align*}\ensuremath \frac{y(t)-y(0)}{x(t)-x(0)}&=\frac{a\sin^3t}{a\cos^3t-a}=\frac{\sin^3t}{(\cos t-1)(\cos^2t+\cos t+1)}\\ &=\frac{8\sin^3\frac{t}{2}\cos^3\frac{t}{2}}{-2\sin^2\frac{t}{2}(\cos^2t+\cos t+1)} =\frac{-4\sin\frac{t}{2}\cos^3\frac{t}{2}}{\cos^2t+\cos t+1}, \end{align*}\] et donc, \(\lim_{t\rightarrow 0}\frac{y(t)-y(0)}{x(t)-x(0)}=0\). (Si on connaît déjà les équivalents, c’est plus court : \(\frac{\sin^3t}{(\cos t-1)(\cos^2t+\cos t+1)}\underset{x\rightarrow0}{\sim}\frac{t^3}{-\frac{t^2}{2}\times3}=-\frac{2t}{3}\rightarrow0\)). La courbe admet en \(M(0)\) une tangente dirigée par le vecteur \((1,0)\). Par symétrie, la courbe admet également une tangente en \(M\left(-\frac{\pi}{2}\right)\), \(M\left(\frac{\pi}{2}\right)\) et \(M(\pi)\), dirigée respectivement par \((0,1)\), \((0,1)\) et \((1,0)\). Toujours par symétrie, ces quatre points sont des points de rebroussement de première espèce. Il en résulte aussi que \[\text{pour tout réel}\;t,\;\mbox{la tangente en}\;M(t)\;\mbox{est dirigée par le vecteur}\;(-\cos t,\sin t).\] On en déduit la courbe. \[\]

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