Loxodromie de sphère -
On considère la courbe
paramétrique de l’espace définie par
\[x = \cos(k\log\sin t) \sin t,\quad
y = \sin(k\log\sin t) \sin t,\quad
z = \cos t,\]
pour \(0 < t < \pi\), où \(k > 0\) est un réel fixé.
1
Montrer qu’elle est tracée sur une sphère de centre \(O\), et qu’elle est symétrique par rapport à \(O\). Montrer qu’elle possède deux points limites que l’on précisera.
2
Calculer sa tangente en tout point. Montrer qu’elle fait un angle constant avec les méridiens de la sphère, angle que l’on déterminera en fonction de \(k\).
3
Tracer les projections de la courbe sur les trois plans \(xOy\), \(yOz\) et \(xOz\). Quelle est l’allure de cette courbe dans l’espace ?