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Loxodromie de sphère -
On considère la courbe paramétrique de l’espace définie par $x = \cos(k\log\sin t) \sin t,\quad y = \sin(k\log\sin t) \sin t,\quad z = \cos t,$ pour $0 < t < \pi$ , où $k > 0$ est un réel fixé.

Montrer qu’elle est tracée sur une sphère de centre $O$ , et qu’elle est symétrique par rapport à $O$ . Montrer qu’elle possède deux points limites que l’on précisera.

Calculer sa tangente en tout point. Montrer qu’elle fait un angle constant avec les méridiens de la sphère, angle que l’on déterminera en fonction de $k$ .

Tracer les projections de la courbe sur les trois plans $xOy$ , $yOz$ et $xOz$ . Quelle est l’allure de cette courbe dans l’espace ?

exo7 2710

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