Pour \(f(x)=\sin^2x+\cos x\), le domaine de définition de \(f\) est \(\R\), et \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^\infty\). On remarque que \(f\) est \(2\pi\)-périodique et paire, il suffit donc de faire l’étude de \(f\) sur l’intervalle \([0;\pi]\).

Variations de \(f\)
Pour \(x\in [0;\pi]\), \(f'(x)=2\sin x\cos x-\sin x=\sin x(2\cos x-1)\) et donc \(f'(x)=0\) si et seulement si \(x\in\{0;\frac{\pi}{3};\pi\}\). Comme \(\sin x>0\) si \(x\in]0;\pi[\), pour étudier le signe de \(f'(x)\), il suffit d’étudier le signe de \((2\cos x-1)\), et on obtient \[\begin{array}{c|lcccr} x&0&\ &\frac{\pi}{3}&\ &\pi \\\hline f'(x)&0&+&0&-&0\\\hline \ &\ &\ &\frac{5}{4}&\ &\ \\ f&\ &\nearrow &\ &\searrow &\ \\ \ &1 &\ &\ &\ &-1 \\ \end{array}\] Tangentes horizontales
Le graphe de \(f\) possède une tangente horizontale là où \(f'\) s’annule, c’est-à-dire aux points de coordonnées \((0,1)\), \((\frac{\pi}{3},\frac{5}{4})\) et \((\pi,-1)\). En particulier, la tangente au point d’abscisse 0 est horizontale et a pour équation \(y=1\). Pour déterminer la position de la courbe par rapport à sa tangente en ce point, on étudie le signe de \(f(x)-1\) pour \(x\) proche de 0: \[f(x)-1=\sin^2x-1+\cos x=-\cos^2x+\cos x=\cos x(1-\cos x)\] Cette expression est positive au voisinage de \(0\) (et même \(>0\) pour \(x\not=0\) proche de \(0\)). La courbe est donc au-dessus de sa tangente. Points particuliers
Le graphe de \(f\) coupe l’axe des abscisses entre \(0\) et \(\pi\) en un unique point \(x_0\), qu’on détermine en résolvant \[f(x)=0\Longleftrightarrow 1-\cos^2x+\cos x=0 \Longleftrightarrow X^2-X-1=0\ (X=\cos x)\] ce qui donne deux solutions pour \(X\), mais une seule dans \([-1;1]\): \(X=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\) et donc \(x_0= \Arccos (\frac{1-\sqrt{5}}{2})\).

Le graphe de \(f\) est obtenu sur \([-\pi;\pi]\) par symétrie par rapport à l’axe des ordonnées, puis sur \(\R\) par \(2\pi\)-périodicité.

Pour \(f(x)=x+\ln(1+e^x)\), le domaine de définition de \(f\) est \(\R\) et \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^\infty\).

Variations de \(f\)
Comme \(f'(x)=1+\frac{e^x}{1+e^x}\), pour tout \(x\), \(f'(x)>1\). En particulier \(f\) est strictement croissante sur \(\R\). Allure du graphe en \(+\infty\)
On a \(f(x)\xrightarrow[x\to +\infty]{}+\infty\) et \[\frac{f(x)}{x}=1+\frac{\ln\big( e^x (e^{-x}+1)\big)}{x}=1+\frac{x+\ln(e^{-x}+1)}{x}\xrightarrow[x\to +\infty]{}2\] puis \(f(x)-2x=\ln(e^{-x}+1)\xrightarrow[x\to +\infty]{}0^+\). Ainsi le graphe de \(f\) a en \(+\infty\) une asymptote, d’équation \(y=2x\), et reste au-dessus de cette asymptote. Allure du graphe en \(-\infty\)
On a \(f(x)\xrightarrow[x\to -\infty]{}-\infty\) et \[\frac{f(x)}{x}=1+\frac{\ln(1+e^x)}{x}\xrightarrow[x\to -\infty]{}1\] puis \(f(x)-x=\ln(1+e^{x})\xrightarrow[x\to -\infty]{}0^+\). Ainsi le graphe de \(f\) a en \(-\infty\) une asymptote, d’équation \(y=x\), et reste au-dessus de cette asymptote. Tangente au point d’abscisse \(0\)
L’équation de la tangente au graphe de \(f\) au point d’abscisse \(x_0\), et la position du graphe par rapport à cette tangente, peuvent être obtenues simultanément à partir du développement limité de \(f\) en \(x_0\). Pour l’équation de la tangente, un développement limité à l’ordre \(1\) suffit, mais pour avoir la position il faut pousser le développement limité à l’ordre \(2\) (ou à l’ordre \(3\) si le terme d’ordre \(2\) est nul, ou plus encore...): \[\begin{aligned} f(x)&=&x+\ln(1+e^x)=x+\ln\left(1+1+x+\frac{1}{2}x^2+o(x^2)\right)\\ &=&x+\ln 2+\ln\left(1+\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}x^2+o(x^2)\right)\\ &=&x+\ln 2+\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}x^2\right)-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}x^2\right)^2+o(x^2)\\ &=&\ln 2+\frac{3}{2}x+\frac{1}{8}x^2+o(x^2)\end{aligned}\] L’équation de la tangente au point d’abscisse \(0\) (donnée par le DL à l’ordre \(1\)) est donc \[y=\ln 2+\frac{3}{2}x\] De plus, \(f(x)-\left(\ln 2+\frac{3}{2}x\right)=\frac{1}{8}x^2+o(x^2)=\frac{1}{8}x^2(1+o(1))\) où \(o(1)\) est un terme qui tend vers \(0\) quand \(x\to 0\). Ainsi \((1+o(1))\) a le même signe que \(1\) pour \(x\) proche de \(0\), et \(f(x)-\left(\ln 2+\frac{3}{2}x\right)\) est positif au voisinage de \(0\): la courbe reste localement au-dessus de sa tangente.

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