Pour $f(x)=\sin^2x+\cos x$ , le domaine de définition de $f$ est $\R$ , et $f$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ . On remarque que $f$ est $2\pi$ -périodique et paire, il suffit donc de faire l’étude de $f$ sur l’intervalle $[0;\pi]$ .

Variations de $f$
Pour $x\in [0;\pi]$ , $f'(x)=2\sin x\cos x-\sin x=\sin x(2\cos x-1)$ et donc $f'(x)=0$ si et seulement si $x\in\{0;\frac{\pi}{3};\pi\}$ . Comme $\sin x>0$ si $x\in]0;\pi[$ , pour étudier le signe de $f'(x)$ , il suffit d’étudier le signe de $(2\cos x-1)$ , et on obtient $\begin{array}{c|lcccr} x&0&\ &\frac{\pi}{3}&\ &\pi \\\hline f'(x)&0&+&0&-&0\\\hline \ &\ &\ &\frac{5}{4}&\ &\ \\ f&\ &\nearrow &\ &\searrow &\ \\ \ &1 &\ &\ &\ &-1 \\ \end{array}$
Tangentes horizontales
Le graphe de $f$ possède une tangente horizontale là où $f'$ s’annule, c’est-à-dire aux points de coordonnées $(0,1)$ , $(\frac{\pi}{3},\frac{5}{4})$ et $(\pi,-1)$ . En particulier, la tangente au point d’abscisse 0 est horizontale et a pour équation $y=1$ . Pour déterminer la position de la courbe par rapport à sa tangente en ce point, on étudie le signe de $f(x)-1$ pour $x$ proche de 0: $f(x)-1=\sin^2x-1+\cos x=-\cos^2x+\cos x=\cos x(1-\cos x)$ Cette expression est positive au voisinage de $0$ (et même $>0$ pour $x\not=0$ proche de $0$ ). La courbe est donc au-dessus de sa tangente.
Points particuliers
Le graphe de $f$ coupe l’axe des abscisses entre $0$ et $\pi$ en un unique point $x_0$ , qu’on détermine en résolvant $f(x)=0\Longleftrightarrow 1-\cos^2x+\cos x=0 \Longleftrightarrow X^2-X-1=0\ (X=\cos x)$ ce qui donne deux solutions pour $X$ , mais une seule dans $[-1;1]$ : $X=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ et donc $x_0= \Arccos (\frac{1-\sqrt{5}}{2})$ .

Le graphe de $f$ est obtenu sur $[-\pi;\pi]$ par symétrie par rapport à l’axe des ordonnées, puis sur $\R$ par $2\pi$ -périodicité.

Pour

f(x)=x+\ln(1+e^x)

, le domaine de définition de

f

est

\R

et

f

est de classe

\mathcal{C}^\infty

.

Variations de $f$
Comme $f'(x)=1+\frac{e^x}{1+e^x}$ , pour tout $x$ , $f'(x)>1$ . En particulier $f$ est strictement croissante sur $\R$ .
Allure du graphe en $+\infty$
On a $f(x)\xrightarrow[x\to +\infty]{}+\infty$ et $\frac{f(x)}{x}=1+\frac{\ln\big( e^x (e^{-x}+1)\big)}{x}=1+\frac{x+\ln(e^{-x}+1)}{x}\xrightarrow[x\to +\infty]{}2$ puis $f(x)-2x=\ln(e^{-x}+1)\xrightarrow[x\to +\infty]{}0^+$ . Ainsi le graphe de $f$ a en $+\infty$ une asymptote, d’équation $y=2x$ , et reste au-dessus de cette asymptote.
Allure du graphe en $-\infty$
On a $f(x)\xrightarrow[x\to -\infty]{}-\infty$ et $\frac{f(x)}{x}=1+\frac{\ln(1+e^x)}{x}\xrightarrow[x\to -\infty]{}1$ puis $f(x)-x=\ln(1+e^{x})\xrightarrow[x\to -\infty]{}0^+$ . Ainsi le graphe de $f$ a en $-\infty$ une asymptote, d’équation $y=x$ , et reste au-dessus de cette asymptote.
Tangente au point d’abscisse $0$
L’équation de la tangente au graphe de $f$ au point d’abscisse $x_0$ , et la position du graphe par rapport à cette tangente, peuvent être obtenues simultanément à partir du développement limité de $f$ en $x_0$ . Pour l’équation de la tangente, un développement limité à l’ordre $1$ suffit, mais pour avoir la position il faut pousser le développement limité à l’ordre $2$ (ou à l’ordre $3$ si le terme d’ordre $2$ est nul, ou plus encore...): $\begin{aligned} f(x)&=&x+\ln(1+e^x)=x+\ln\left(1+1+x+\frac{1}{2}x^2+o(x^2)\right)\\ &=&x+\ln 2+\ln\left(1+\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}x^2+o(x^2)\right)\\ &=&x+\ln 2+\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}x^2\right)-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}x^2\right)^2+o(x^2)\\ &=&\ln 2+\frac{3}{2}x+\frac{1}{8}x^2+o(x^2) \end{aligned}$ L’équation de la tangente au point d’abscisse $0$ (donnée par le DL à l’ordre $1$ ) est donc $y=\ln 2+\frac{3}{2}x$ De plus, $f(x)-\left(\ln 2+\frac{3}{2}x\right)=\frac{1}{8}x^2+o(x^2)=\frac{1}{8}x^2(1+o(1))$ où $o(1)$ est un terme qui tend vers $0$ quand $x\to 0$ . Ainsi $(1+o(1))$ a le même signe que $1$ pour $x$ proche de $0$ , et $f(x)-\left(\ln 2+\frac{3}{2}x\right)$ est positif au voisinage de $0$ : la courbe reste localement au-dessus de sa tangente.

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