L3 Analyse complexe Autre Prépa MPSI · MP2I Prépa PCSI Prépa PTSI Prépa BCPST 4 questions

exo7 7607

On paramètre le cercle $C_r$ privé du point ${-r}$ de centre $0$ et de rayon $r>0$ orienté dans le sens trigonométrique du plan complexe en définissant pour $t\in\Rr$ , $\xi(t)$ comme le point d’intersection de la droite d’équation $y=t(x+r)$ avec le cercle $C_r$ différent de $-r$ .

Montrer que $\xi(t)=r\frac{1+it}{1-it}$ .

Vérifier que $\xi$ est dérivable sur $\Rr$ et calculer $\frac{\xi'(t)}{\xi(t)}$ .

En déduire que $\int_{C_r} \frac{dz}{z}=2i\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dt}{1+t^2}.$

En déduire la valeur de $\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dt}{1+t^2}$ .