Soit $z=re^{i\theta}\in\Cc$ avec $r\geq 0$ et $\theta\in ]-\pi,\pi]$ . $\begin{aligned} z^3\not\in\Cc^-&\iff& z^3\in\Rr^-\iff r^3e^{i3\theta}\in\Rr^-\iff 3\theta\simeq \pi \mod 2\pi\\ &\iff& \theta \simeq \frac{\pi}{3} \mod \frac{2\pi}{3}\iff \theta=\frac{-\pi}{3}\quad\text{ou}\quad \theta=\frac{\pi}{3}\quad\text{ou}\quad \theta=\pi. \end{aligned}$

Diagramme TikZ 1

Le domaine $D$ est composé de $\Cc$ moins les demi-droites noires.

Soit $z=re^{i\theta}\in\Cc$ avec $r\geq 0$ et $\theta\in ]-\pi,\pi]$ .

Si $\theta\in]-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3}[$ , $3\theta\in]-\pi,\pi[$ et donc, $f(z)=\log(z^3)=\log_\Rr(r^3)+i3\theta=3\log_\Rr(r)+3i\theta=3\log(z)$ .
Si $\theta\in]\frac{\pi}{3},\pi[$ , $3\theta\in]\pi,3\pi[$ et $3\theta-2\pi\in]-\pi,\pi[$ et donc, $f(z)=\log(z^3)=\log_\Rr(r^3)+i(3\theta-2\pi)=3\log_\Rr(r)+3i\theta-2i\pi=3\log(z)-2i\pi$ .
Si $\theta\in]-\pi,-\frac{\pi}{3},[$ , $3\theta\in]-3\pi,-\pi[$ et $3\theta+2\pi\in]-\pi,\pi[$ et donc, $f(z)=\log(z^3)=\log_\Rr(r^3)+i(3\theta+2\pi)=3\log_\Rr(r)+3i\theta+2i\pi=3\log(z)+2i\pi$ .

La fonction $f$ n’est donc pas continu aux points de la demi-droite d’angle $\frac{\pi}{3}$ ni aux points de la demi-droite d’angle $-\frac{\pi}{3}$ où la fonction $_log$ est continue. On sait que le saut de la branche principale $\log$ du logarithme entre $(-\pi^+$ et $\pi^-$ est de $2i\pi$ . Le saut de $f$ est donc de $6i\pi$ . Elle n’est donc pas continue aux points de la demi-droite d’angle $\pi$ . La réponse a été donnée dans la question précédente.

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