Soit \(z=re^{i\theta}\in\Cc\) avec \(r\geq 0\) et \(\theta\in ]-\pi,\pi]\). \[\begin{aligned} z^3\not\in\Cc^-&\iff& z^3\in\Rr^-\iff r^3e^{i3\theta}\in\Rr^-\iff 3\theta\simeq \pi \mod 2\pi\\ &\iff& \theta \simeq \frac{\pi}{3} \mod \frac{2\pi}{3}\iff \theta=\frac{-\pi}{3}\quad\text{ou}\quad \theta=\frac{\pi}{3}\quad\text{ou}\quad \theta=\pi.\end{aligned}\]

Diagramme TikZ 1

Le domaine \(D\) est composé de \(\Cc\) moins les demi-droites noires.

Soit \(z=re^{i\theta}\in\Cc\) avec \(r\geq 0\) et \(\theta\in ]-\pi,\pi]\).

Si \(\theta\in]-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3}[\), \(3\theta\in]-\pi,\pi[\) et donc, \(f(z)=\log(z^3)=\log_\Rr(r^3)+i3\theta=3\log_\Rr(r)+3i\theta=3\log(z)\). Si \(\theta\in]\frac{\pi}{3},\pi[\), \(3\theta\in]\pi,3\pi[\) et \(3\theta-2\pi\in]-\pi,\pi[\) et donc, \(f(z)=\log(z^3)=\log_\Rr(r^3)+i(3\theta-2\pi)=3\log_\Rr(r)+3i\theta-2i\pi=3\log(z)-2i\pi\). Si \(\theta\in]-\pi,-\frac{\pi}{3},[\), \(3\theta\in]-3\pi,-\pi[\) et \(3\theta+2\pi\in]-\pi,\pi[\) et donc, \(f(z)=\log(z^3)=\log_\Rr(r^3)+i(3\theta+2\pi)=3\log_\Rr(r)+3i\theta+2i\pi=3\log(z)+2i\pi\).

La fonction \(f\) n’est donc pas continu aux points de la demi-droite d’angle \(\frac{\pi}{3}\) ni aux points de la demi-droite d’angle \(-\frac{\pi}{3}\) où la fonction \(_log\) est continue. On sait que le saut de la branche principale \(\log\) du logarithme entre \((-\pi^+\) et \(\pi^-\) est de \(2i\pi\). Le saut de \(f\) est donc de \(6i\pi\). Elle n’est donc pas continue aux points de la demi-droite d’angle \(\pi\). La réponse a été donnée dans la question précédente.

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