On introduit la fonction “Zeta” : \[\zeta (s)=\sum_{n\ge 1}{1\over n^s}\]
I Produit d’Euler
Montrer que \(\zeta\) est holomorphe dans l’ouvert \(\Omega =\{ z\in\C\vert \ \Re z>1\}\).
Soient \(p_1=2,p_2=3,\dots,p_n,\dots\) la suite des nombres premiers. Montrer que dans \(\Omega\), on a \[\zeta (s)=\prod_{n\ge 1}{1\over 1-p_n^{-s}}\] (produit d’Euler).
II Relation de \(\zeta\) avec la répartition des nombres premiers
Montrer que \[{\zeta '(s)\over \zeta (s)}=-\sum_{n\ge1} \lambda (n)n^{-s}\] où \(\lambda (n)=\ln p\) si \(n\) est une puissance d’un nombre \(p\) premier et \(\lambda (n)=0\) si \(n\) a au moins deux diviseurs premiers distincts.
On a le théorème suivant :
Théorème des nombres premiers (Hadamard-De la Vallée Poussin 1896) :
Lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), la somme des \(\lambda (n)\) pour \(n\le
x\) est équivalente à \(x\).
Démontrer que cette assertion est équivalente à dire que le nombre de nombres premiers plus petits que \(x\) est équivalent à \(x/\ln x\).