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On introduit la fonction “Zeta” : $\zeta (s)=\sum_{n\ge 1}{1\over n^s}$

I Produit d’Euler

Montrer que $\zeta$ est holomorphe dans l’ouvert $\Omega =\{ z\in\C\vert \ \Re z>1\}$ .

Soient $p_1=2,p_2=3,\dots,p_n,\dots$ la suite des nombres premiers. Montrer que dans $\Omega$ , on a $\zeta (s)=\prod_{n\ge 1}{1\over 1-p_n^{-s}}$ (produit d’Euler).

II Relation de $\zeta$ avec la répartition des nombres premiers

Montrer que ${\zeta '(s)\over \zeta (s)}=-\sum_{n\ge1} \lambda (n)n^{-s}$ où $\lambda (n)=\ln p$ si $n$ est une puissance d’un nombre $p$ premier et $\lambda (n)=0$ si $n$ a au moins deux diviseurs premiers distincts.

On a le théorème suivant :
Théorème des nombres premiers (Hadamard-De la Vallée Poussin 1896) : Lorsque $x$ tend vers $+\infty$ , la somme des $\lambda (n)$ pour $n\le x$ est équivalente à $x$ .

Démontrer que cette assertion est équivalente à dire que le nombre de nombres premiers plus petits que $x$ est équivalent à $x/\ln x$ .

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I Produit d’Euler

II Relation de $\zeta$ avec la répartition des nombres premiers

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I Produit d’Euler

II Relation de ζ\zetaζ avec la répartition des nombres premiers

II Relation de $\zeta$ avec la répartition des nombres premiers