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Démontrer que l’intégrale $\int_0^\infty \dfrac{\ln(x)}{(1+x^2)^2}\,dx$ converge.

Soit $f(z) = \dfrac{\log(z)}{(1+z^2)^2}$ avec $\log(z) = \mathrm{Log}(-iz) + i\pi/2$ le logarithme défini sur $\Cc\setminus i\,]-\infty,0]$ et tel que $\log(1) = 0$. Déterminer les points singuliers isolés de $f$ et pour chaque point singulier isolé déterminer son résidu.

Soit $D = \{\,z\in \Cc \mid \epsilon< |z| < R\ \&\ \Im z >0\,\}$. À l’aide de $\int_{\partial D} f(z)\,dz$, déterminer la valeur de $\int_0^\infty \dfrac{\ln(x)}{(1+x^2)^2}\,dx$. N’oubliez pas de justifier les passages à la limite que vous effectuez.