1
Démontrer que l’intégrale \(\int_0^\infty \dfrac{\ln(x)}{(1+x^2)^2}\,dx\) converge.
2
Soit \(f(z) = \dfrac{\log(z)}{(1+z^2)^2}\) avec \(\log(z) = \mathrm{Log}(-iz) + i\pi/2\) le logarithme défini sur \(\Cc\setminus i\,]-\infty,0]\) et tel que \(\log(1) = 0\). Déterminer les points singuliers isolés de \(f\) et pour chaque point singulier isolé déterminer son résidu.
3
Soit \(D = \{\,z\in \Cc \mid \epsilon< |z| < R\ \&\ \Im z >0\,\}\). À l’aide de \(\int_{\partial D} f(z)\,dz\), déterminer la valeur de \(\int_0^\infty \dfrac{\ln(x)}{(1+x^2)^2}\,dx\). N’oubliez pas de justifier les passages à la limite que vous effectuez.