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On rappelle les équations de Cauchy-Riemann en coordonnées polaires $(r,\theta)$ pour une fonction $f=u+iv$ d’un ouvert $D$ de $\Cc$ dans $\Cc$ :

$\displaystyle\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \theta} \quad \text{ et } \quad \frac{1}{r}\frac{\partial u }{\partial \theta}=-\frac{\partial v}{\partial r}$ .

L’application $u: \Rr^2-\{(0,0)\}\to\Rr, (x,y)\mapsto \log_\Rr(x^2+y^2)$ est-elle harmonique sur son domaine de définition ?

En utilisant les équations de Cauchy-Riemann en coordonnées polaires, déterminer s’il existe ou pas une fonction holomorphe $f$ sur $\Cc-\{0\}$ dont la partie réelle est $u$ .

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