On rappelle les équations de Cauchy-Riemann en coordonnées polaires \((r,\theta)\) pour une fonction \(f=u+iv\) d’un ouvert \(D\) de \(\Cc\) dans \(\Cc\) :
\(\displaystyle\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \theta} \quad \text{ et } \quad \frac{1}{r}\frac{\partial u }{\partial \theta}=-\frac{\partial v}{\partial r}\).
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L’application \(u: \Rr^2-\{(0,0)\}\to\Rr, (x,y)\mapsto \log_\Rr(x^2+y^2)\) est-elle harmonique sur son domaine de définition ?
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En utilisant les équations de Cauchy-Riemann en coordonnées polaires, déterminer s’il existe ou pas une fonction holomorphe \(f\) sur \(\Cc-\{0\}\) dont la partie réelle est \(u\).