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Soit \(u_n\), \(n\geq1\) des nombres complexes. Montrer: \(1 + \sum_{n=1}^N |u_n| \leq \prod_{n=1}^N (1+|u_n|) \leq e^{\sum_{n=1}^N |u_n| }\). En déduire que la suite croissante \(\prod_{n=1}^N (1+|u_n|)\) a une limite finie si et seulement si \(\sum_{n=1}^\infty |u_n| < \infty\). On suppose maintenant être dans ce cas, et de plus \(\forall n\; 1+u_n\neq0\). Montrer alors \(\sum_{n=1}^\infty |\mathrm{Log}(1+u_n)| < \infty\), et en déduire que \(\prod_{n=1}^\infty (1+ u_n)\) converge. On conviendra donc de dire que \(\prod_{n=1}^\infty (1+ u_n)\) est “absolument convergent” si \(\sum_{n=1}^\infty |u_n|<\infty\), et on vient donc de prouver qu’un produit absolument convergent est convergent. C’est principalement, la seule chose que vous ayez à savoir sur ce sujet.