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Soit $u_n$, $n\geq1$ des nombres complexes. Montrer: $1 + \sum_{n=1}^N |u_n| \leq \prod_{n=1}^N (1+|u_n|) \leq e^{\sum_{n=1}^N |u_n| }$. En déduire que la suite croissante $\prod_{n=1}^N (1+|u_n|)$ a une limite finie si et seulement si $\sum_{n=1}^\infty |u_n| < \infty$. On suppose maintenant être dans ce cas, et de plus $\forall n\; 1+u_n\neq0$. Montrer alors $\sum_{n=1}^\infty |\mathrm{Log}(1+u_n)| < \infty$, et en déduire que $\prod_{n=1}^\infty (1+ u_n)$ converge. On conviendra donc de dire que $\prod_{n=1}^\infty (1+ u_n)$ est “absolument convergent” si $\sum_{n=1}^\infty |u_n|<\infty$, et on vient donc de prouver qu’un produit absolument convergent est convergent. C’est principalement, la seule chose que vous ayez à savoir sur ce sujet.