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Soit \(\alpha\) avec \(|\alpha|<1\). On sait que \(z\mapsto \phi_\alpha(z) = \frac{\alpha - z}{1 - \overline\alpha z}\) est un automorphisme du disque unité \(D(0,1)\). Trouver \(z_1\) et \(z_2\) avec \(\phi_\alpha(z_1) = z_2\), \(\phi_\alpha(z_2) = z_1\). Deux points distincts arbitraires \(z_1\) et \(z_2\) étant donnés dans \(D(0,1)\), montrer qu’il existe un automorphisme les échangeant et que cet automorphisme est unique à une rotation près (on se ramènera au cas où l’un des points est l’origine).