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Soit $\alpha$ avec $|\alpha|<1$. On sait que $z\mapsto \phi_\alpha(z) = \frac{\alpha - z}{1 - \overline\alpha z}$ est un automorphisme du disque unité $D(0,1)$. Trouver $z_1$ et $z_2$ avec $\phi_\alpha(z_1) = z_2$, $\phi_\alpha(z_2) = z_1$. Deux points distincts arbitraires $z_1$ et $z_2$ étant donnés dans $D(0,1)$, montrer qu’il existe un automorphisme les échangeant et que cet automorphisme est unique à une rotation près (on se ramènera au cas où l’un des points est l’origine).