On rappelle que le Laplacien \(\Delta\varphi\) d’une fonction \(\varphi~: U\to\Rr\) définie sur un ouvert \(U\) de \(\Rr^2\) est la fonction sur \(U\) donnée par \(\Delta\varphi (x,y)=\frac{\partial^2}{\partial x^2}\varphi (x,y)+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\varphi(x,y)\).
1
Soit \(D\) un ouvert connexe de \(\Cc\) et \(f : D\to\Cc\) une application holomorphe. Exprimer \(\Delta |f|^2\) à l’aide de \(f'\).
2
Soit \(D\) un ouvert connexe et \((f_i : D\to\Cc)_{i=1}^N\) une famille finie d’applications holomorphes. On suppose que \[\forall z\in D, \ \ \sum_{i=1}^N |f_i(z)|^2=1.\] Montrer que toutes les \(f_i\) sont constantes sur \(D\).