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On rappelle que le Laplacien $\Delta\varphi$ d’une fonction $\varphi~: U\to\Rr$ définie sur un ouvert $U$ de $\Rr^2$ est la fonction sur $U$ donnée par $\Delta\varphi (x,y)=\frac{\partial^2}{\partial x^2}\varphi (x,y)+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\varphi(x,y)$ .

Soit $D$ un ouvert connexe de $\Cc$ et $f : D\to\Cc$ une application holomorphe. Exprimer $\Delta |f|^2$ à l’aide de $f'$ .

Soit $D$ un ouvert connexe et $(f_i : D\to\Cc)_{i=1}^N$ une famille finie d’applications holomorphes. On suppose que $\forall z\in D, \ \ \sum_{i=1}^N |f_i(z)|^2=1.$ Montrer que toutes les $f_i$ sont constantes sur $D$ .

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