Soit \(R>1\) et \(\gamma _R\) le chemin fermé de classe \(C^1\) : \(\gamma _R:[0,2\pi]\to \C\) tel que \(\gamma _R(t)=Re^{it}\).
On note respectivement \(\gamma ^+_R\) et \(\gamma ^-_R\) la restriction de \(\gamma _R\) à \([0,\pi]\) et à \([\pi,2\pi]\). On rappelle que \([a,b]\) désigne le chemin \(\zeta\) de \([0,1]\) dans \(\C\) défini par \(\zeta (t)=bt+(1-t)a\). On pose \(C^+_R=\gamma ^+_R+[-R,R]\) et \(C^-_R=\gamma ^-_R+[R,-R]\).
Montrer que \(\mathrm{Ind}_{C^+_R}(i)+\mathrm{Ind}_{C^-_R}(i)=\mathrm{Ind}_{\gamma _R}(i)\) et en déduire la valeur de \(\mathrm{Ind}_{C^+_R}(i)\). Calculer, pour \(u>0\) et \(R>1\), \[\int_{C^+_R}{e^{iuz}\over 1+z^2}dz.\] En déduire la valeur de \[\int_{-\infty}^{+\infty}{e^{iux}\over 1+x^2}dx,\] pour \(u>0\), puis pour tout \(u\) réel.