Soit \(n\), \(p\) deux entiers tels que \(n\ge p+2 \ge 2\), soit \(f(z) = \dfrac{z^p}{1+z^n}\), soit \(R>0\) et soit \(D = \{z\in \Cc \mid 0<\mathrm{Arg}(z)<2\pi/n\ ,\ 0<|z|<R\,\}\).
1
Démontrer que l’intégrale \(\int_0^\infty \dfrac{x^p}{1+x^n}\,dx\) converge.
2
Dessiner \(D\), déterminer les singularités isolés de \(f\)
et calculer \(\int_{\partial D} f(z) \, dz\).
3
Déduire de 2. la valeur de \(\int_0^\infty \dfrac{x^p}{1+x^n}\,dx\). N’oubliez pas de justifier les passages à la limite que vous effectuez.