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Soit $n$ , $p$ deux entiers tels que $n\ge p+2 \ge 2$ , soit $f(z) = \dfrac{z^p}{1+z^n}$ , soit $R>0$ et soit $D = \{z\in \Cc \mid 0<\mathrm{Arg}(z)<2\pi/n\ ,\ 0<|z|<R\,\}$ .

Démontrer que l’intégrale $\int_0^\infty \dfrac{x^p}{1+x^n}\,dx$ converge.

Dessiner $D$ , déterminer les singularités isolés de $f$

et calculer $\int_{\partial D} f(z) \, dz$ .

Déduire de 2. la valeur de $\int_0^\infty \dfrac{x^p}{1+x^n}\,dx$ . N’oubliez pas de justifier les passages à la limite que vous effectuez.

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