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Montrer que sa somme, notée $f(z)$, est holomorphe dans $\C$. Montrer qu’il existe $a_0>1$ tel que l’on ait, pour tout $a\ge a_0$, $$\sum_{k=1}^{+\infty}{1\over a^{k^2}}\le {1\over 100}.$$

Dans toute la suite, on supposera $a\ge a_0$.
Soit $p$ entier, $p\ge 1$. Montrer que l’on a, pour tout $z$ vérifiant $\vert z\vert =a^{2p}$, $${1\over a^{p^2}}\left\vert f(z)-{z^p\over a^{p^2}}\right\vert\le {2\over 100}.$$ En déduire que $f(z)$ a $p$ zéros, $z_1, \dots ,z_p$ dans le disque ouvert $D(0,a^{2p})$. Montrer que, quel que soit $p\ge 1$, $z_p$ a les propriétés suivantes :

$a^{2(p-1)}<\vert z\vert <a^{2p}$,

$z_p$ est un zéro simple,

$z_p$ est un réel négatif.