Soit \(a\) un réel, \(a>1\). On considère la série entière \[\sum_{n=0}^{+\infty}{z^n\over a^{n^2}}.\]
Montrer que sa somme, notée \(f(z)\), est holomorphe dans \(\C\). Montrer qu’il existe \(a_0>1\) tel que l’on ait, pour tout \(a\ge a_0\), \[\sum_{k=1}^{+\infty}{1\over a^{k^2}}\le {1\over 100}.\]
Dans toute la suite, on supposera \(a\ge a_0\).
Soit \(p\) entier, \(p\ge 1\). Montrer que l’on a, pour tout \(z\) vérifiant
\(\vert z\vert =a^{2p}\),
\[{1\over a^{p^2}}\left\vert f(z)-{z^p\over a^{p^2}}\right\vert\le
{2\over 100}.\]
En déduire que \(f(z)\) a \(p\) zéros, \(z_1, \dots ,z_p\) dans le disque
ouvert \(D(0,a^{2p})\). Montrer que, quel que soit \(p\ge 1\), \(z_p\) a les
propriétés suivantes :
\(a^{2(p-1)}<\vert z\vert <a^{2p}\),
\(z_p\) est un zéro simple,
\(z_p\) est un réel négatif.