On pose \(\displaystyle F(z)=\int_0^{+\infty} e^{-zx^2}\ dx\).
1
Montrer que \(F\) est holomorphe sur \(\Omega =\{z\in{\Cc}\vert \Re\! ez>0\}\). Calculer \(F'(z)\) en fonction de \(F(z)\).
2
En déduire une autre expression de \(F(z)\) pour \(z\in \Omega\) (on pourra utiliser \(\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-x^2}\ dx =\sqrt\pi/2\)). Conclure enfin que la fonction \(F\) se prolonge en une fonction holomorphe sur \(\C\setminus \mathopen]-\infty, 0]\).