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On pose $\displaystyle F(z)=\int_0^{+\infty} e^{-zx^2}\ dx$ .

Montrer que $F$ est holomorphe sur $\Omega =\{z\in{\Cc}\vert \Re\! ez>0\}$ . Calculer $F'(z)$ en fonction de $F(z)$ .

En déduire une autre expression de $F(z)$ pour $z\in \Omega$ (on pourra utiliser $\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-x^2}\ dx =\sqrt\pi/2$ ). Conclure enfin que la fonction $F$ se prolonge en une fonction holomorphe sur $\C\setminus \mathopen]-\infty, 0]$ .