1
Soit \(\sum_{n\geq 1}a_nz^n\) une série entière convergente (avec un rayon de convergence strictement positif). Déterminer le rayon de convergence de la série \(\sum_{n\geq 1}\frac{a_n}{n!}z^n\).
2
Soit deux séries entières centrées en \(0\) de rayon de convergence \(R>0\) et de somme respective \(f\) et \(g\). On suppose que pour tout \(x\in]-R,R[, f(x)=g(x).\) Montrer que pour tout \(z\in\Delta_r, f(z)=g(z)\).
3
En déduire que pour tout \(a\in \Rr\), et pour tout \(z\in\Cc\), \(\sin(a+z)=\sin(a)\cos (z)+\cos(a)\sin (z).\)