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Soit $\sum_{n\geq 1}a_nz^n$ une série entière convergente (avec un rayon de convergence strictement positif). Déterminer le rayon de convergence de la série $\sum_{n\geq 1}\frac{a_n}{n!}z^n$.

Soit deux séries entières centrées en $0$ de rayon de convergence $R>0$ et de somme respective $f$ et $g$. On suppose que pour tout $x\in]-R,R[, f(x)=g(x).$ Montrer que pour tout $z\in\Delta_r, f(z)=g(z)$.

En déduire que pour tout $a\in \Rr$, et pour tout $z\in\Cc$, $\sin(a+z)=\sin(a)\cos (z)+\cos(a)\sin (z).$