On écrit la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle

\frac{z^2+z-1}{z^2(z^2-4)}=\frac{5}{16}\frac{1}{z-2}-\frac{1}{16(z+2)}-\frac{1}{4z}+\frac{1}{4z^2}.

Les premier et troisième termes correspondent aux pôles simples

P_2

et

P_1

à l’intérieur du cercle

{\partial \Delta_2(1)}

. Donc,

\int_{\partial \Delta_2(1)}\left(\frac{5}{16}\frac{1}{z-2}-\frac{1}{4z}\right)dz=(2i\pi)(\frac{5}{16}-\frac{1}{4})=\frac{i\pi}{8}.

Le deuxième terme correspond au pôle

P_3

à l’extérieur du cercle

{\partial \Delta_2(1)}

donc,

\int_{\partial \Delta_2(1)}\frac{1}{16(z+2)}dz=0

. Le dernier terme est l’intégrale sur un chemin fermé de l’application exacte

z\mapsto \frac{1}{4z^2}

de primitive

z\mapsto -\frac{1}{4z}

. Donc,

\int_{\partial \Delta_2(1)}\frac{1}{4z^2}dz=0

. En conclusion,

\int_{\partial \Delta_2(1)}\frac{z^2+z-1}{z(z^2-4)}dz=\frac{i\pi}{8}.

Une autre démarche serait : on écrit la décomposition en éléments simples de la fraction rationelle $\frac{1}{z^2(z^2-4)}=\frac{1}{16}\frac{1}{z-2}-\frac{1}{16(z+2)}-\frac{1}{4z^2}.$ et donc avec $f(z)=z^2+z-1$ holomorphe sur $\Cc$ $\frac{z^2+z-1}{z^2(z^2-4)}=\frac{1}{16}\frac{f(z)}{z-2}-\frac{f(z)}{16(z+2)}-\frac{f(z)}{4z^2}.$ Par le théorème de Cauchy sur les disques, puisque $0$ et $2$ sont dans $\Delta_2(1)$ mais pas $-2$ , $\begin{aligned} \int_{\partial \Delta_2(1)}\frac{z^2+z-1}{z^2(z^2-4)}&=&\frac{1}{16}\int_{\partial \Delta_2(1)}\frac{f(z)}{z-2}-\int_{\partial \Delta_2(1)}\frac{f(z)}{16(z+2)}-\int_{\partial \Delta_2(1)}\frac{f(z)}{4z^2}\\ &=&\frac{2i\pi f(2)}{16}-0-\frac{2i\pi f'(0)}{4}=\frac{5i\pi}{8}-\frac{i\pi}{2} =\frac{i\pi}{8}. \end{aligned}$

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