L3 Analyse complexe Autre 4 questions

exo7 6858

Si ρ\rho est un réel strictement positif, on note DρD_\rho le disque ouvert de centre 0 et de rayon ρ\rho et γρ\gamma _\rho le chemin t↦ρeitt\mapsto \rho e^{it}, 0≤t≤2π0\le t\le 2\pi.

On considère une fonction ff holomorphe sur D1D_1, telle que l’on ait f(0)=0f(0)=0 et f′(0)≠0f'(0)\ne 0. Pour tout ρ∈]0,1[\rho \in\mathopen]0,1\mathclose[, on pose m(ρ)=inf⁡∣z∣=ρ∣f(z)∣\displaystyle m(\rho )=\inf_{\vert z\vert =\rho }\vert f(z)\vert.

1

Montrer qu’il existe un nombre réel r∈]0,1[r\in\mathopen]0,1\mathclose[ tel que, pour tout ρ∈]0,r[\rho \in\mathopen]0,r\mathclose[, on ait m(ρ)>0.m(\rho )>0.

Dans toute la suite, on suppose que rr et ρ\rho sont fixés et qu’ils vérifient les conclusions de 1.

2

Montrer que, pour tout nombre complexe ww vérifiant ∣w∣<m(ρ)\vert w\vert <m(\rho ), la fonction z↦f(z)−wz\mapsto f(z)-w a un seul zéro, noté g(w)g(w), dans DρD_\rho.

3

Montrer que l’on a 12iπ∫γρzf′(z)f(z)−wdz=g(w).{1\over 2i\pi}\int_{\gamma _\rho }{zf'(z)\over f(z)-w}dz=g(w).

4

Montrer que, pour tout ww vérifiant ∣w∣<m(ρ)\vert w\vert <m(\rho ), on a g(w)=∑n=0+∞cnwng(w)=\sum_{n=0}^{+\infty}c_nw^n et l’on exprimera les coefficients cnc_n au moyen d’intégrales faisant intervenir ff et f′f'.

Exercice DRJV

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