Si \(\rho\) est un réel strictement positif, on note \(D_\rho\) le disque ouvert de centre 0 et de rayon \(\rho\) et \(\gamma _\rho\) le chemin \(t\mapsto \rho e^{it}\), \(0\le t\le 2\pi\).
On considère une fonction \(f\) holomorphe sur \(D_1\), telle que l’on ait \(f(0)=0\) et \(f'(0)\ne 0\). Pour tout \(\rho \in\mathopen]0,1\mathclose[\), on pose \(\displaystyle m(\rho )=\inf_{\vert z\vert =\rho }\vert f(z)\vert\).
Montrer qu’il existe un nombre réel \(r\in\mathopen]0,1\mathclose[\) tel que, pour tout \(\rho \in\mathopen]0,r\mathclose[\), on ait \[m(\rho )>0.\]
Dans toute la suite, on suppose que \(r\) et \(\rho\) sont fixés et qu’ils vérifient les conclusions de 1.
Montrer que, pour tout nombre complexe \(w\) vérifiant \(\vert w\vert <m(\rho )\), la fonction \[z\mapsto f(z)-w\] a un seul zéro, noté \(g(w)\), dans \(D_\rho\).
Montrer que l’on a \[{1\over 2i\pi}\int_{\gamma _\rho }{zf'(z)\over f(z)-w}dz=g(w).\]
Montrer que, pour tout \(w\) vérifiant \(\vert w\vert <m(\rho )\), on a \[g(w)=\sum_{n=0}^{+\infty}c_nw^n\] et l’on exprimera les coefficients \(c_n\) au moyen d’intégrales faisant intervenir \(f\) et \(f'\).