exo7 7637

Une application holomorphe sur $\Cc$ de dérivée partout non nulle est-elle nécessairement injective ?

Rappeler la définition de la branche (ou détermination) principale du logarithme.

Ayant fixé la détermination principale $\mathbb{H}ox{Log} z$ du logarithme, définir les fonctions puissances $z\mapsto z^\alpha$ pour tout nombre complexe $\alpha$ en précisant leur domaine de définition.

Montrer à l’aide d’un théorème du cours qu’une application holomorphe sur un ouvert connexe $D$ de $\Cc$ dont toutes les valeurs sont de module $1$ est constante.

Définir une singularité essentielle pour une application holomorphe définie sur un ouvert de $\Cc$.

Donner un exemple d’automorphisme du demi-plan de Poincaré qui n’est pas une translation.