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Soit $g$ une fonction méromorphe dans $\C$. On suppose que $g$ n’est pas égale à la fonction constante $g(z)=i$ et que $g$ vérifie l’équation différentielle $$g'(z)=g^2(z)=-1.$$

On considère la fonction $f$ définie par $$f(z)={g(z)+i\over g(z)-i}.$$

On note $P$ l’ensemble des pôles de $f$ et $U=\C\setminus P$.

Quelle équation différentielle vérifie $f$ ?

Déterminer $f(z)$ sur $U$, puis sur $\C$. En déduire que, si l’on suppose de plus que $g$ a un pôle en 0, l’on a $$g(z)=\mathrm{cotan} z.$$