1
Soit \(g\) une fonction méromorphe dans \(\C\). On suppose que \(g\) n’est pas égale à la fonction constante \(g(z)=i\) et que \(g\) vérifie l’équation différentielle \[g'(z)=g^2(z)=-1.\]
On considère la fonction \(f\) définie par \[f(z)={g(z)+i\over g(z)-i}.\]
On note \(P\) l’ensemble des pôles de \(f\) et \(U=\C\setminus P\).
Quelle équation différentielle vérifie \(f\) ?
Déterminer \(f(z)\) sur \(U\), puis sur \(\C\). En déduire que, si l’on suppose de plus que \(g\) a un pôle en 0, l’on a \[g(z)=\mathrm{cotan} z.\]