Les parties I et II sont indépendantes. Les parties III et IV utilisent les résultats établis dans II.
I
1
Déterminer l’ensemble des zéros de la fonction \(\sin\) dans \(\C\). Quel est leur ordre de multiplicité ?
2
On note, pour tout \(n\ge 0\), \(\gamma_n^*\) le bord du carré dans \(\C\) de sommets \((n+{1\over 2})\pi (1+i)\), \((n+{1\over 2})\pi (-1+i)\), \((n+{1\over 2})\pi (-1-i)\), \((n+{1\over 2})\pi (1-i)\). Montrer que, si \(z\in \gamma_n^*\), on a \(\vert \sin z\vert ^2\ge 1\).