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Démontrer que l’intégrale $\int_0^\infty \dfrac{x^a}{x(1+x^2)}\,dx$ converge.

Soit $f(z) = \dfrac{e^{a\log(z)}}{z(1+z^2)}$ avec $\log(z) = \mathrm{Log}(-iz) + i\pi/2$, c’est-à-dire que $\log$ est le logarithme défini sur $\Omega = \Cc\setminus i\,]-\infty,0]$ et tel que $\log(1) = 0$. Déterminer les points singuliers isolés de $f$ dans $\Omega$ et pour chaque point singulier isolé déterminer son résidu.

Soit $D = \{\,z\in \Cc \mid \epsilon< |z| < R\ \&\ \Im z >0\,\}$. À l’aide de $\int_{\partial D} f(z)\,dz$, déterminer la valeur de $\int_0^\infty \dfrac{x^a}{x(1+x^2)}\,dx$. N’oubliez pas de justifier les passages à la limite que vous effectuez.