Soit \(a\) un réel, \(0<a<2\).
1
Démontrer que l’intégrale \(\int_0^\infty \dfrac{x^a}{x(1+x^2)}\,dx\) converge.
2
Soit \(f(z) = \dfrac{e^{a\log(z)}}{z(1+z^2)}\) avec \(\log(z) = \mathrm{Log}(-iz) + i\pi/2\), c’est-à-dire que \(\log\) est le logarithme défini sur \(\Omega = \Cc\setminus i\,]-\infty,0]\) et tel que \(\log(1) = 0\). Déterminer les points singuliers isolés de \(f\) dans \(\Omega\) et pour chaque point singulier isolé déterminer son résidu.
3
Soit \(D = \{\,z\in \Cc \mid \epsilon< |z| < R\ \&\ \Im z >0\,\}\). À l’aide de \(\int_{\partial D} f(z)\,dz\), déterminer la valeur de \(\int_0^\infty \dfrac{x^a}{x(1+x^2)}\,dx\). N’oubliez pas de justifier les passages à la limite que vous effectuez.