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Soit $f :\Cc\to\Cc$ une application holomorphe non constante. Montrer que l’image du plan complexe par $f$ rencontre tous les disques ouverts non vides $\Delta_r(a)$ de $\mathbb{C}$.

En déduire que toute application holomorphe de $\Cc$ dans $\mathbb{H}$ est constante.

On considère $$\begin{array}{cccc} h :& \Cc-\{-i\}&\longrightarrow&\Cc \\&z&\longmapsto& \frac{z-i}{z+i}. \end{array}$$ Montrer que $\forall z\in\Cc-\{-i\}, \ \ \ 1-|h(z)|^2=\frac{4 Im(z)}{|z+i|^2}.$

En déduire que l’image du demi-plan de Poincaré $\mathbb{H}$ par $h$ est une partie bornée de $\Cc$.

En déduire par une nouvelle démonstration que toute application holomorphe de $\Cc$ dans $\mathbb{H}$ est constante.