1
Soit \(f :\Cc\to\Cc\) une application holomorphe non constante. Montrer que l’image du plan complexe par \(f\) rencontre tous les disques ouverts non vides \(\Delta_r(a)\) de \(\mathbb{C}\).
2
En déduire que toute application holomorphe de \(\Cc\) dans \(\mathbb{H}\) est constante.
3
On considère \[\begin{array}{cccc} h :& \Cc-\{-i\}&\longrightarrow&\Cc \\&z&\longmapsto& \frac{z-i}{z+i}. \end{array}\] Montrer que \(\forall z\in\Cc-\{-i\}, \ \ \ 1-|h(z)|^2=\frac{4 Im(z)}{|z+i|^2}.\)
4
En déduire que l’image du demi-plan de Poincaré \(\mathbb{H}\) par \(h\) est une partie bornée de \(\Cc\).
5
En déduire par une nouvelle démonstration que toute application holomorphe de \(\Cc\) dans \(\mathbb{H}\) est constante.