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On suppose \(\sum_{n\geq1} |u_n|^2 < \infty\). Montrer que les deux séries \(\sum u_n\) et \(\sum \mathrm{Log}(1+u_n)\) sont soit toutes deux convergentes soit toutes deux divergentes (on suppose \(\forall n\ u_n\neq -1\)). Donc si \(\sum_{n\geq1} |u_n|^2 < \infty\) le produit infini \(\prod_{n=1}^\infty (1+u_n)\) est convergent si et seulement si la série \(\sum_{n=1}^\infty u_n\) converge.