Soit \(f(z) = \dfrac{1-e^{2iz^2}}{z^3(1+z^4)}\), soit \(0<\epsilon<1<R\) et soit \(D = B_\epsilon(0) \cup \{z\in \Cc \mid {\Re z>0,}\ {\Im z > 0,}\ |z|<R\,\}\).
1
Démontrer que l’intégrale \(\int_0^\infty \dfrac{\sin^2(x^2)}{x^3(1+x^4)}\,dx\) converge.
2
Dessiner \(D\), déterminer les singularités de \(f\)
et calculer \(\int_{\partial D} f(z) \, dz\).
3
Déduire de 2. la valeur de \(\int_0^\infty \dfrac{\sin^2(x^2)}{x^3(1+x^4)}\,dx\). N’oubliez pas de justifier les passages à la limite que vous effectuez.