Le quadrilatère $ABA'B'$ est inscriptible dans un cercle de diamètre $[AB]$ . En effet, les triangles $ABA'$ et $ABB'$ sont par définition rectangles en $A'$ et $B'$ , et ont même hypoténuse $[AB]$ .

De même, les quadrilatères $BCB'C'$ et $CAC'A'$ sont inscriptibles dans des cercles de diamètre $[BC]$ et $[CA]$ .

Montrons que la hauteur $(BB')$ est une bissectrice des droites $(B'C')$ et $(B'A')$ . Pour cela, on montre que $(B'C',B'B)=(B'B,B'A')$ .

On a : $\begin{align*} (B'C',B'B) &= (CC',CB) \text{ (car $BCB'C'$ est inscriptible)}\\ &= (CC',CA') \text{ (mêmes droites)}\\ &= (AC'AA') \text{ (car $ACA'C'$ est inscriptible)}\\ &= (AB,AA') \text{ (mêmes droites)}\\ &= (B'B,B'A') \text{ (car $ABA'B'$ est inscriptible)}\\ \end{align*}$

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